derivada de f(x)=sec³(exp(sin(x)))

as

Sendo \(f(x) = \sec^3 (e^{\sin x})\), sua derivada \(f'(x)\) é:

\(\Longrightarrow f'(x) =\Big [ \sec^3 (e^{\sin x}) \Big ]'\)

Tem-se que \(\Big [ f^3(x) \Big ]'=3f^2(x) \cdot f'(x)\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow f'(x) = 3\sec^{2} (e^{\sin x}) \cdot \Big [ \sec (e^{\sin x}) \Big ]'\)

Tem-se que \(\Big [ \sec \big [ f(x) \big ] \Big ]'=\sec \big [ f(x) \big ] \tan \big [ f(x) \big ] \cdot f'(x)\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow f'(x) = 3\sec^{2} (e^{\sin x}) \sec (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cdot \Big [ e^{\sin x} \Big ]'\)

\(\Longrightarrow f'(x) = 3\sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cdot \Big [ e^{\sin x} \Big ]'\)

Tem-se que \(\Big [ e^{ f(x)} \Big ]'= e^{ f(x)} \cdot f'(x)\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow f'(x) = 3\sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) e^{\sin x} \cdot \Big [ \sin x \Big ]'\)

\(\Longrightarrow f'(x) = 3 e^{\sin x} \sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cdot \Big [ \sin x \Big ]'\)

Tem-se que \(\Big [ \sin\big[ f(x) \big ] \Big ]'= \cos \big[ f(x) \big ] \cdot f'(x)\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow f'(x) = 3 e^{\sin x} \sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cos x \cdot \Big [ x \Big] '\)

Tem-se que \( \big [ x \big ]'= 1\). Portanto, o resultado final é:

\(\Longrightarrow f'(x) = 3 e^{\sin x} \sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cos x \cdot 1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ f'(x) = 3 e^{\sin x} \sec^{3} (e^{\sin x}) \tan(e^{\sin x} ) \cos x $}\)