considerando a transformação linear t:R^3->R^2 , com t( 1,0,0)=(1,0,0) T=(0,1,0)=(0,1,0) e t(0,0,1)=(0,0,0) , pode ser afirmar que t(300,500,700) é

Vamos considerar a seguinte equação:

\(\Longrightarrow (x,y,z) = a \cdot (1,0,0) + b \cdot (0,1,0) + c \cdot (0,0,1)\)

Agora, vamos deduzir as equações de \(a\), \(b\) e \(c\) em função de \(x\), \(y\) e \(z\).

Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (x,y,z) = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c)\)

\(\Longrightarrow (x,y,z) = (a,b,c)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { a =x} & (I) \\ \underline { b=y} & (II) \\ \underline{c=z} & (III) \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações \((I)\), \((II)\) e \((III)\) na equação inicial do exercício, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (x,y,z) = x \cdot (1,0,0) + y \cdot (0,1,0) + z \cdot (0,0,1)\)    \((IV)\)

Agora vamos aplicar o operador linear \(T: \, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) na equação \((IV)\). Sendo \(T(1,0,0) = (1,0,0)\), \(T(0,1,0) = (0,1,0)\) e \(T(0,0,1) = (0,0,0)\),  a resposta final de exercício é:

\(\Longrightarrow T(x,y,z) = x \cdot T(1,0,0) + y \cdot T(0,1,0) + z \cdot T(0,0,1)\)

\(\Longrightarrow T(x,y,z) = x \cdot (1,0,0) + y \cdot (0,1,0) + z \cdot (0,0,0)\)

\(\Longrightarrow \underline { T(x,y,z) = (x,y,0) }\)

Portanto, a transformada \(T(300,500,700)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ T(300,500,700) = (300,500,0) $}\)