Alguém pode me ajudar

Desses alunos, 160 prestaram o concurso B, 120 prestaram o concurso T e 100 o concurso R. Se k alunos, dentre os 200 citados inicialmente, prestaram ambos os concursos B e R, então quantos são, ao todo, os possíveis valores de k?

A) 40.

B) 41.

C) 80.

D) 81.

E) 100.

Nesse exercício vamos estudar conjuntos e suas cardinalidades.

A primeira parte do exercício nos diz que não há nenhum aluno que não prestou concurso e que:

$$n(B\cup T\cup R)=200$$

sendo que o conjunto de nome de cada concurso contém os alunos que prestaram aquele concurso.

Da segunda frase, temos:

$$n(B)=160,\ n(T)=120,\ n(R)=100$$

Da terceira frase:

$$n(B\cap R)=k$$

Para resolver esse exercício vamos considerar todas as possibilidades e eliminar aquelas que não são possíveis. Vamos começar pelo caso de a única intersecção ser entre os conjuntos $B$ e $R$:

$$n(B\cup R\cup T)=n(B)+n(R)+n(T)-n(B\cap R)$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$200=160+100+120-k\Rightarrow k = 180 n(B\cap R)>n(R) \times$$

Para qualquer caso em que haja apenas intersecção entre dois conjuntos, essa será a cardinalidade, impossibilitando qualquer condição análoga, logo deve haver pelo menos duas intersecções.

Para todas as intersecções, podemos escrever a seguinte equação:

$$n(T\cup B\cup R)=n(T)+n(B)+n(R)-n(B\cap R) -n(B\cap T) -n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Para os nossos dados:

$$200=120+160+100-k-n(B\cap T)-n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Reescrevendo:

$$180=k+n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$$

$N=n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$ é a quantidade de alunos que fizeram o concurso $T$ mas fizeram outros também, então deve ser menor que $n(T)$:

$$\begin{cases}0\leq N\leq 120 & \\0\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Devido aos limites superiores, surgem limites inferiores:

$$\begin{cases}180-100=80\leq N\leq 120 & \\180-120=60\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Temos, portanto, a alternativa B:

$$60\leq k\leq 100\Rightarrow\boxed{n(k)=41}$$

Nesse exercício vamos estudar conjuntos e suas cardinalidades.

A primeira parte do exercício nos diz que não há nenhum aluno que não prestou concurso e que:

$$n(B\cup T\cup R)=200$$

sendo que o conjunto de nome de cada concurso contém os alunos que prestaram aquele concurso.

Da segunda frase, temos:

$$n(B)=160,\ n(T)=120,\ n(R)=100$$

Da terceira frase:

$$n(B\cap R)=k$$

Para resolver esse exercício vamos considerar todas as possibilidades e eliminar aquelas que não são possíveis. Vamos começar pelo caso de a única intersecção ser entre os conjuntos $B$ e $R$:

$$n(B\cup R\cup T)=n(B)+n(R)+n(T)-n(B\cap R)$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$200=160+100+120-k\Rightarrow k = 180 n(B\cap R)>n(R) \times$$

Para qualquer caso em que haja apenas intersecção entre dois conjuntos, essa será a cardinalidade, impossibilitando qualquer condição análoga, logo deve haver pelo menos duas intersecções.

Para todas as intersecções, podemos escrever a seguinte equação:

$$n(T\cup B\cup R)=n(T)+n(B)+n(R)-n(B\cap R) -n(B\cap T) -n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Para os nossos dados:

$$200=120+160+100-k-n(B\cap T)-n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Reescrevendo:

$$180=k+n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$$

$N=n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$ é a quantidade de alunos que fizeram o concurso $T$ mas fizeram outros também, então deve ser menor que $n(T)$:

$$\begin{cases}0\leq N\leq 120 & \\0\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Devido aos limites superiores, surgem limites inferiores:

$$\begin{cases}180-100=80\leq N\leq 120 & \\180-120=60\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Temos, portanto, a alternativa B:

$$60\leq k\leq 100\Rightarrow\boxed{n(k)=41}$$

Nesse exercício vamos estudar conjuntos e suas cardinalidades.

A primeira parte do exercício nos diz que não há nenhum aluno que não prestou concurso e que:

$$n(B\cup T\cup R)=200$$

sendo que o conjunto de nome de cada concurso contém os alunos que prestaram aquele concurso.

Da segunda frase, temos:

$$n(B)=160,\ n(T)=120,\ n(R)=100$$

Da terceira frase:

$$n(B\cap R)=k$$

Para resolver esse exercício vamos considerar todas as possibilidades e eliminar aquelas que não são possíveis. Vamos começar pelo caso de a única intersecção ser entre os conjuntos $B$ e $R$:

$$n(B\cup R\cup T)=n(B)+n(R)+n(T)-n(B\cap R)$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$200=160+100+120-k\Rightarrow k = 180 n(B\cap R)>n(R) \times$$

Para qualquer caso em que haja apenas intersecção entre dois conjuntos, essa será a cardinalidade, impossibilitando qualquer condição análoga, logo deve haver pelo menos duas intersecções.

Para todas as intersecções, podemos escrever a seguinte equação:

$$n(T\cup B\cup R)=n(T)+n(B)+n(R)-n(B\cap R) -n(B\cap T) -n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Para os nossos dados:

$$200=120+160+100-k-n(B\cap T)-n(T\cap R)+n(T\cap B\cap R)$$

Reescrevendo:

$$180=k+n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$$

$N=n(B\cap T)+n(T\cap R)-n(T\cap B\cap R)$ é a quantidade de alunos que fizeram o concurso $T$ mas fizeram outros também, então deve ser menor que $n(T)$:

$$\begin{cases}0\leq N\leq 120 & \\0\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Devido aos limites superiores, surgem limites inferiores:

$$\begin{cases}180-100=80\leq N\leq 120 & \\180-120=60\leq k\leq n(R)=100 & \\N+k=180\end{cases}$$

Temos, portanto, a alternativa B:

$$60\leq k\leq 100\Rightarrow\boxed{n(k)=41}$$