alguém pode responder esseb limite da primeira questão ?

comnplicado

Vamos resolver o seguinte limite:

$$L = \lim\limits_{x\rightarrow-3}\left[(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)+{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}+(x^3+4)^{-1}\right]$$

Podemos separar em uma soma de limites:

$$L = \lim\limits_{x\rightarrow-3}(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)+ \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}+ \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x^3+4)^{-1}$$

Vamos calcular separadamente cada um deles e depois somar. Começando pelo primeiro, temos:

$$L_1=\lim\limits_{x\rightarrow-3}(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)$$

Para qualquer valor do argumento o cosseno é limitado:

$$-1\leq \cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq1$$

Multiplicando por $(x+3)^2$, temos:

$$-(x+3)^2\leq (x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq (x+3)^2$$

Aplicando o limite, temos:

$$\lim\limits_{x\rightarrow-3}-(x+3)^2\leq \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x+3)^2$$

$$0\leq L_1\leq 0\Rightarrow L_1=0$$

Para o Segundo limite, temos:

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}$$

Reescrevendo o denominador, temos:

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)(x^2+8x+15)}$$

Podemos ainda reescrever como um produto de limites, já que cada um deles existe: 

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over (x^2+8x+15)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow-3}{1\over x+5}$$

Para o primeiro, façamos $y= x^2+8x+15$ e para o segundo basta substituir o valor:

$$L_2 = \lim\limits_{y\rightarrow0}{\sin y\over y}\cdot{1\over 2}$$

O limite restante é um dos limites fundamentais:

$$L_2 = 1\cdot{1\over 2}={1\over 2}$$

Para o terceiro limite, temos:

$$L_3=\lim\limits_{x\rightarrow-3} (x^3+4)^{-1}$$

Onde basta-nos substituir o valor:

$$L_3= (27+4)^{-1}={1\over31}$$

Juntando as três partes, temos:

$$L=L_1+L_2+L_3=0+{1\over2}+{1\over31}$$

Concluímos, portanto, que:

$$\boxed{L={33\over62}}$$

Vamos resolver o seguinte limite:

$$L = \lim\limits_{x\rightarrow-3}\left[(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)+{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}+(x^3+4)^{-1}\right]$$

Podemos separar em uma soma de limites:

$$L = \lim\limits_{x\rightarrow-3}(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)+ \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}+ \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x^3+4)^{-1}$$

Vamos calcular separadamente cada um deles e depois somar. Começando pelo primeiro, temos:

$$L_1=\lim\limits_{x\rightarrow-3}(x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)$$

Para qualquer valor do argumento o cosseno é limitado:

$$-1\leq \cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq1$$

Multiplicando por $(x+3)^2$, temos:

$$-(x+3)^2\leq (x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq (x+3)^2$$

Aplicando o limite, temos:

$$\lim\limits_{x\rightarrow-3}-(x+3)^2\leq \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x+3)^2\cos\left({x^2+5\over x^2+6x+9}\right)\leq \lim\limits_{x\rightarrow-3} (x+3)^2$$

$$0\leq L_1\leq 0\Rightarrow L_1=0$$

Para o Segundo limite, temos:

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)^2(x+3)}$$

Reescrevendo o denominador, temos:

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over(x+5)(x^2+8x+15)}$$

Podemos ainda reescrever como um produto de limites, já que cada um deles existe:

$$L_2 = \lim\limits_{x\rightarrow-3}{\sin(x^2+8x+15)\over (x^2+8x+15)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow-3}{1\over x+5}$$

Para o primeiro, façamos $y= x^2+8x+15$ e para o segundo basta substituir o valor:

$$L_2 = \lim\limits_{y\rightarrow0}{\sin y\over y}\cdot{1\over 2}$$

O limite restante é um dos limites fundamentais:

$$L_2 = 1\cdot{1\over 2}={1\over 2}$$

Para o terceiro limite, temos:

$$L_3=\lim\limits_{x\rightarrow-3} (x^3+4)^{-1}$$

Onde basta-nos substituir o valor:

$$L_3= (27+4)^{-1}={1\over31}$$

Juntando as três partes, temos:

$$L=L_1+L_2+L_3=0+{1\over2}+{1\over31}$$

Concluímos, portanto, que:

$$\boxed{L={33\over62}}$$