verdadeiro ou falso

Calculando a integral indefinida, temos que essa função tem uma primitiva, que é igual a \(cos ^{n+1} x \over n+1\). Quando colocamos os limites de integração, teríamos \(cos ^{n+1} pi\over n+1\)-\(cos ^{n+1} 0 \over n+1\). Como \(cos (pi) = -cos (0)\) e como o expoente n+1 é sempre par, assumindo que n seja impar como foi determinado no enunciado, quando elevarmos o cosseno tanto de pi como de zero a um expoente par, o resultado será o valor de 1 e então poderemos realizar a substituição de \(cos ^{n+1} 0 \over n+1\) por \(cos ^{n+1} pi\over n+1\) para n+1 inteiro e par, logo a expressão se torna \(cos ^{n+1} pi\over n+1\)-\(cos ^{n+1} pi\over n+1\) = 0. Então é verdadeiro, caso eu n tenha errado nada né kkkkkk. Espero ter ajudado.

Reli aqui e vi que a primitiva que eu te dei está errada, a correta é essa mesma expressão só que negativa, mas ainda sim o raciocínio é valodo, apenas serão trocadas as ordens na substituição, pois na segunda expressão da minha resposta anterior, assumindo que coloquei a-b=0 para eu não ter que escrever tuda a expressão de novo, se tornaria -(a-b)= 0 = b-a. Logo a resposta continua sendo a mesma, só ajeita esse sinal aí. Foi mal kkkkk

Para \(n\) ímpar, tem-se a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x\)

Será utilizado o método da substituição. Criando uma nova variável \(u = \cos x\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {\partial u \over \partial x} = {\partial \over \partial x} (\cos x)\)

\(\Longrightarrow {\partial u \over \partial x} = -\sin x\)

\(\Longrightarrow \partial u = -\sin x\, \partial x\)

Portanto, a integral fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -\int \limits_0^{\pi} \cos^n x \cdot (-\sin x\, \partial x)\)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -\int \limits_0^{\pi} u^n \partial u\)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -\Big [ {u^{n+1} \over n+1} \Big ] \bigg | _0^{\pi}\)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -{1 \over n+1} \Big [ \cos^{n+1}x \Big ] \bigg | _0^{\pi}\)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -{1 \over n+1} \Big [ \cos^{n+1}(\pi) - \cos^{n+1}(0) \Big ] \)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -{1 \over n+1} \Big [ (-1)^{n+1} - (1)^{n+1} \Big ] \)

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -{1 \over n+1} \Big [ (-1)^{n+1} - 1 \Big ] \)

Se \(n\) é ímpar, então \(n+1\) é par. Isso implica em \( (-1)^{n+1} = 1\). Portanto, para \(n\) ímpar, o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x = -{1 \over n+1} \Big [ 1 - 1 \Big ] \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int \limits_0^{\pi} \sin x \cdot \cos^n x \, \partial x =0 $}\)

Resposta: Verdadeiro.