Sabemos que \(w=(a \cos(cx)+b\sin(cx))e^{-kt}e^2\),

logo, temos que:

\(​​\frac{dw}{dt}=-k(a \cos(cx)+b\sin(cx))e^{-kt}e^2 \\=-kw\)

Também temos que:

\(​​\frac{dw}{dx}=(-ca \sin(cx)+cb\cos(cx))e^{-kt}e^2\)

Logo, obtemos que:

\(​​\frac{d^2w}{dx^2}=(-c^2a \cos(cx)-c^2b\sin(cx))e^{-kt}e^2 \\=-c^2(a \cos(cx)+b\sin(cx))e^{-kt}e^2 \\=-c^2w\)

Portanto, podemos escrever:

\(\frac{dw}{dt}+\frac{d^2w}{dx^2}=-kw-c^2w\)