Questão resolvida - Determine a direcional de f(x,y)xy em P(2,8) na direção de Q(5,4) - Cálculo II - Senac Serviço Nacional De Aprendizagem Comercial

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a direcional de em na direção de .f x, y =( ) xy P 2, 8( ) 5, 4Q( )
 
 Solução:
 
A derivada direcional é dada por:
 
D f x, y = ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
 e são as componentes do vetor , unitário de , para achar u fazemos:u1 u2 u Q
 
= ⋅ + ⋅u
5
5 + 4( )2 ( )2
i
4
5 + 4( )2 ( )2
j
= ⋅ + ⋅u
5
25 + 16
i
4
25 + 16
j
= +u
5
41
i
4
41
j
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a x e y e substituimos o ponto ;2, 8( )
 
f x, y = = xy = xy ⋅ y = xy y = xy y =( ) xy ( )
1
2 →
𝜕f
𝜕x
1
2
( )
-1
1
2 1
2
( )
1- 2
2 1
2
( )
-
1
2
y
2 xy
2, 8 = = = = = 1
𝜕f
𝜕x
( )
8
2 2 ⋅ 8
8
2 16
8
2 ⋅ 4
8
8
 
 
f x, y = = xy = xy ⋅ x = xy x = xy y =( ) xy ( )
1
2 →
𝜕f
𝜕x
1
2
( )
-1
1
2 1
2
( )
1- 2
2 1
2
( )
-
1
2
x
2 xy
2, 8 = = = = =
𝜕f
𝜕x
( )
2
2 2 ⋅ 8
2
2 16
2
2 ⋅ 4
2
8
1
4
 
 
 
 
 
 
O vetor gradiente fica:
D f 2, 8 = 1 ⋅ + ⋅u ( )
5
41
1
4
4
41
D f 2, 8 = + = + = =u ( )
5
41
4
4 41
5
41
1
41
5 + 1
41
6
41
 
D f 2, 8 = -u ( )
6
41
 
 
(Resposta)