determinar os vertices d eum quadrado

Boa noite!

Como as diagonais de um quadrado formam ângulo reto entre elas podemos encontrar a equação da outra diagonal (digo outra pois o ponto A(0,2) não pertence a diagonal da reta).

Isolando o y:

y=(-1/2)x-4

Esta é a equação da reta que contém uma das diagonais.

A outra tem coeficiente angular que forma ângulo reto com esta.

m.m'=-1 (produto entre coeficientes angulares de retas perpendiculares dá -1)

(-1/2).m'=-1

m'=2 (dois é o coeficiente angular da equação da outra diagonal)

y-y0=m(x-x0)

y-2=2(x-0)

y-2=2x

y=2x+2 (equação da outra diagonal)

A interseção nos dará o centro do quadrado.

y=2x+2

x+2y+8=0

x+2(2x+2)+8=0

x+4x+4+8=0

5x=-12

x=-2,4

y=2x+2=2(-2,4)+2=-4,8+2=-2,8

Então, um dos vértices é A(0,2), o centro é (-2,4;-2,8)

Com um dos vértices e o centro do quadrado podemos obter a equação da circunferência:

Primeiro calculando o raio (distância entre o centro e o ponto A)

d=√((0+2,4)²+(2+2,8)²)=√(2,4²+4,8²)=√28,8

(x+2,4)²+(y+2,8)²=28,8

Vamos obter as interseções:

y=2x+2

(x+2,4)²+(2x+2+2,8)²=28,8

(x+2,4)²+(2x+4,8)²=28,8

x²+4,8x+5,76+4x²+19,2x+23,04=28,8

5x²+24x=0

x(5x+24)=0

x=0 ou x=-24/5=-4,8

x=0, y=2(0)+2=2

x=-4,8, y=2(-4,8)+2=-9,6+2=-7,6

A(0; 2) e C(-4,8; -7,6)

Agora que temos os pontos A(0,2) e C(-4,8;-7,6) podemos encontrar os outros:

x+2y+8=0

x=-2y-8

(x+2,4)²+(y+2,8)²=28,8

(-2y-8+2,4)²+(y+2,8)²=28,8

(-2y-5,6)²+(y+2,8)²=28,8

4y²+22,4y+31,36+y²+5,6y+7,84=28,8

5y²+28y+10,4=0

Δ=(28)²-4(5)(10,4)

Δ=784-208

Δ=576

y=(-28±√576)/(2*5)

y=(-28±24)/10

y'=-4/10=-0,4

y''=-52/10=-5,2

y=-0,4, x=-2y-8=-2(-0,4)-8=-7,2

y=-5,2, x=-2y-8=-2(-5,2)-8=2,4

B(-7,2, -0,4)

D(2,4, -5,2)

Espero ter ajudado! :)

Olá Jussara,

Você pode encontrar o centro do quadrado da maneira que Rodrigo encontrou, fica A(0; 2) vértice e O(-2,4; -2.8) centro. Experimente realizar uma translação nesses dois pontos de maneira que o centro passe a coincidir com a origem: O(-2,4; -2,8)—>O'(-2,4+2,4; -2,8+2,8)=O'(0, 0) e A(0; 2)—>A'(0+2,4; 2+2,8)=A'(2,4; 4,8).  Agora podemos nos aproveitar do fato de que, se (x0; y0) é um ponto, (-y0; x0) é a sua posição após uma rotação de 90º no sentido positivo e com centro na origem; faremos isso rotacionando o ponto A' várias vezes ao redor da origem.

A'(2,4; 4,8)—>B'(-4,8, 2,4)—>C'(-2,4; -4,8)—>D'(4,8; -2,4)

Ora, os pontos A', B', C' e D' são os vértices de um quadrado com centro na origem (você pode verificar isso usando o caso LAL de congruência de triângulos). Se transladarmos todos esses vértices de maneira que A' volte para A e O' volte para O, a figura formada pelos pontos transladados continua sendo um quadrado, mas com um vértice em A e centro em O — justamente o que procurávamos!

O'(0; 0)—>O(0 - 2,4; 0 - 2,8)=O(-2,4; -2,8)
A'(2,4; 4,8)—>A(2,4 - 2,4; 4,8 - 2,8)=A(0, 2)
B'(-4,8; 2,4)—>B(-4,8 - 2,4; 2,4 - 2,8)=B(-7,2; -0,4)
C'(-2,4; -4,8)—>C(-2,4 - 2,4; -4,8 - 2,8)=C(-4,8; -7,6)
D'(4,8; -2,4)—>D(4,8 - 2,4; -2,4 - 2,8)=D(2,4; -5,2)

O mesmo resultado que o Rodrigo, mas com bem menos contas ^^.

Em geral, sempre que você quiser achar um quadrado de vértice A e centro O, você pode:
achar um ponto A' que é A-O;
girar o ponto A' três vezes, obtendo os pontos B', C' e D';
para esses quatro pontos, somar O;
os pontos resultantes dessa soma são os vértices do quadrado procurado.

1. Distância entre reta e ponto: a distância \(d\) entre uma reta, de equação \(ax+by+c=0\), e o ponto \((x_A,y_A)=(0;2)\), é encontrada pela seguinte equação:


\[d={|ax_A+by_A+c| \over \sqrt{a^2+b^2}}\]


Substituindo \(a=1\), \(b=2\), \(c=8\), \(x_A=0\) e \(y_A=2\), o valor de \(d\) é:


\[\begin{align} d&={|ax_A+by_A+c| \over \sqrt{a^2+b^2}} \\ &={|1\cdot 0+2 \cdot 2+8| \over \sqrt{1^2+2^2}} \\ &={|0+4+8| \over \sqrt{1+4}} \\ &={12 \over \sqrt{5}} \\ &={\sqrt{144} \over \sqrt{5}} \\ &=\sqrt{28,8} \,\,\,\,(I) \end{align}\]


2. Ponto da reta \(r\) mais próximo do ponto \((x_A,y_A)=(0;2)\): sendo \((x_2,y_2)\) o ponto da reta \(r\) que é o mais próximo do ponto \((x_A,y_A)=(0;2)\), o ponto \((x_2,y_2)\) corresponde ao centro do quadrado. Com isso, deve-se achar a reta normal a \(r\) que passa por \(A\).

Sendo \(m=-a/b\) o coeficiente angular de \(r:x+2y+8=0\), o coeficiente angular da reta normal \(y_n\) é:

\[\begin{align} m_n &={b \over a} \\ &={2 \over 1} \\ &=2\\ \end{align}\]

Portanto, a equação de \(y_n\) fica da seguinte forma:

\[\begin{align} y_n&=m_nx+b_n \\ &=2x+b_n \end{align}\]

Substituindo o ponto \((x_A,y_A)=(0;2)\) em \(y_n\), o valor do coeficiente linear \(b_n\) é:

\[\begin{align} 2&=m_n\cdot 0+b_n \\ &=0+b_n \\ b_n &= 2 \end{align}\]

Portanto, a equação completa de \(y_n\) é:

\[y_n=2x+2 \,\,\,\, (II)\]

O ponto \((x_2,y_2)\) é o ponto de cruzamento entre \(r\) e \(y_n\). Portanto, substituindo \(y_n=2x+2\) - equação \((II)\) - em \(r:x+2y+8=0\), o valor de \(x_2\) é:

\[\begin{align} x_2+2y_2+8&=0 \\ x_2+2\cdot (2x_2+2)+8&=0 \\ x_2+4x_2+4+8&=0 \\ 5x_2+12&=0 \\ 5x_2&=-12 \\ x_2 &= -2,4 \end{align}\]

Substituindo \(x_2\) em \(y_n=2x+2\), o valor de \(y_2\) é:

\[\begin{align} y_2&=2x_2+2 \\ &=2\cdot (-2,4)+2 \\ &=-4,8+2 \\ &= -2,8 \end{align}\]

Portanto, o centro \((x_2,y_2)\) do quadrado é:

\[(x_2,y_2)= (-2,4;-2,8) \,\,\,\,(III)\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_C-x_2=x_2-x_A \\ y_C-y_2=y_2-y_A \end{matrix} \right.\]

Portanto, os valores de \(x_C\) e \(y_C\) são:

\[\left\{ \begin{matrix} x_C+2,4=-2,4-0 \\ y_C+2,8=-2,8-2 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_C+2,4=-2,4 \\ y_C+2,8=-4,8 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_C=-4,8 \\ y_C=-7,6 \end{matrix} \right.\]

Portanto, o ponto C é:

\[(x_C,y_C)=(-4,8;-7,6) \,\,\,\,(IV)\]

Obs: é possível deduzir que o ponto C, conforme esperado, pertence à reta normal \(y_n=2x+2\).

1. Pontos B e D: os pontos B e D do quadrado pertencem à reta \(r\). Sendo \((x_3,y_3)\) um desses pontos, a distância entre ele e o centro \((x_2,y_2)= (-2,4;-2,8)\) é igual a \(d=\sqrt{28,8}\), conforme a equação \((I)\). Ou seja:


\[\begin{align} \sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}&=d \\ \sqrt{(x_3+2,4)^2+(y_3+2,8)^2}&=\sqrt{28,8} \\ (x_3+2,4)^2+(y_3+2,8)^2&=28,8 \\ \end{align}\]


Como \((x_3,y_3)\) pertence à reta \(r:x+2y+8=0\), pode-se substituir \(x_3=-2y_3-8\) na equação anterior. Com isso, tem-se o seguinte:


\[\begin{align} (x_3+2,4)^2+(y_3+2,8)^2&=28,8 \\ (-2y_3-8+2,4)^2+(y_3+2,8)^2&=28,8 \\ (-2y_3-5,6)^2+(y_3+2,8)^2&=28,8 \\ (4y_3^2+22,4y_3+31,36)+(y_3^2+5,6y_3+7,84)&=28,8 \\ 5y_3^2+28y_3+39,2&=28,8 \\ 5y_3^2+28y_3+10,4&=0 \\ y_3^2+5,6y_3+2,08&=0 \\ \end{align}\]


Pela fórmula de Bhaskara (formato \(ay_3^2+by_3+c=0\)) da equação anterior, tem-se \(a=1\), \(b=5,6\) e \(c=2,08\). Com base nos valores de \(y_3\), os valores de \(y_B\) e \(y_D\) são:


\[\begin{align} y_3 &= {-b \pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\ &= {-5,6 \pm\sqrt{5,6^2-4\cdot 1\cdot 2,08} \over 2\cdot 1} \\ &= {-5,6 \pm\sqrt{31,36-8,32} \over 2} \\ &= {-5,6 \pm\sqrt{23,04} \over 2} \\ &= {-5,6 \pm4,8 \over 2} \\ \end{align} \\ \left\{ \begin{matrix} y_B=-0,4 \\ y_D=-5,2 \end{matrix} \right.\]


Com isso, os valores de \(x_B\) e \(x_D\) são:


\[\left\{ \begin{matrix} x_B=-2y_C-8 \\ x_D=-2y_D-8 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_B=-2\cdot (-0,4)-8 \\ x_D=-2\cdot(-5,2)-8 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_B=0,8-8 \\ x_D=10,4-8 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_B=-7,2 \\ x_D=2,4 \end{matrix} \right.\]


Com isso, os pontos B e D são:


\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} (x_B,y_B)&=(-7,2;-0,4) \\ (x_D,y_D)&=(2,4;-5,2) \end{align} \end{matrix} \right. \,\,\,\,(V)\]


2. Conclusão: concluindo, os pontos do quadrado ABCD são:


\[\boxed{ \left\{ \begin{matrix} \begin{align} (x_A,y_A)&=(0;2) \\ (x_B,y_B)&=(-7,2;-0,4) \\ (x_C,y_C)&=(-4,8;-7,6) \\ (x_D,y_D)&=(2,4;-5,2) \end{align} \end{matrix} \right. }\]