Indique a função que é solução da equação diferencial y" - 4y' + 4y = ex.

Contextualização:

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Classificação

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

, tem ordem 1 e grau 1

, tem ordem 2 e grau 3

, tem ordem 3 e grau 3

Referência: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php - Acessado em 12/10/2018

Resolução:

Primeiro calculando a solução homogênea teremos:

Repare que encontramos duas raízes iguais, logo na solução homogênea devemos multiplicar um dos termos por x:

Solução homogênea: 

Agora devemos calcular a solução particular, usaremos o método dos coeficientes indeterminados.

 é uma constante A multiplicando  , logo teremos:

Note que todas as derivadas são iguais. Agora vamos substituir na equação principal:

Como já era de se esperar, encontramos  , logo a solução da equação particular é  .

A solução geral é a soma da homogênea mais a particular, logo teremos como solução geral:

Conclusão:

Portanto, a solução geral da equação diferencial   é:

Contextualização:

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Classificação

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

, tem ordem 1 e grau 1

, tem ordem 2 e grau 3

, tem ordem 3 e grau 3

Referência: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php - Acessado em 12/10/2018

Resolução:

Primeiro calculando a solução homogênea teremos:

Repare que encontramos duas raízes iguais, logo na solução homogênea devemos multiplicar um dos termos por x:

Solução homogênea:

Agora devemos calcular a solução particular, usaremos o método dos coeficientes indeterminados.

é uma constante A multiplicando , logo teremos:

Note que todas as derivadas são iguais. Agora vamos substituir na equação principal:

Como já era de se esperar, encontramos , logo a solução da equação particular é .

A solução geral é a soma da homogênea mais a particular, logo teremos como solução geral:

Conclusão:

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Contextualização:

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Classificação

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

, tem ordem 1 e grau 1

, tem ordem 2 e grau 3

, tem ordem 3 e grau 3

Referência: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php - Acessado em 12/10/2018

Resolução:

Primeiro calculando a solução homogênea teremos:

Repare que encontramos duas raízes iguais, logo na solução homogênea devemos multiplicar um dos termos por x:

Solução homogênea:

Agora devemos calcular a solução particular, usaremos o método dos coeficientes indeterminados.

é uma constante A multiplicando , logo teremos:

Note que todas as derivadas são iguais. Agora vamos substituir na equação principal:

Como já era de se esperar, encontramos , logo a solução da equação particular é .

A solução geral é a soma da homogênea mais a particular, logo teremos como solução geral:

Conclusão:

Portanto, a solução geral da equação diferencial é: