Mostre por indução que 1^3+2^3+...+n^3=(n^4/4)+(n^3/2)+(n^2/4) para todo inteiro n>=1.

Boa tarde!

1o. Passo: Provar a fórmula para n=1

1³=(1^4/4)+(1^3/2)+(1^2/4)=1/4+1/2+1/4=1 (OK!)

2o. Passo: Admitimos que a fórmula é válida para qualquer n = k:

Então: 1³+2³+3³+…+k³=(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)

3o. Passo: Vamos verificar se a fórmula é válida para um n = k+1, por indução:

1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³=((k+1)^4/4)+((k+1)³/2)+((k+1)²/4)

(k^4+4k³+6k²+4k+1)/4+(k³+3k²+3k+1)/2+(k²+2k+1)/4

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(4k³+6k²+4k+1)/4+(3k²+3k+1)/2+(2k+1)/4

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(4k³+6k²+4k+1)/4+(6k²+6k+2)/4+(2k+1)/4

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(4k³+6k²+4k+1+6k²+6k+2+2k+1)/4

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(4k³+12k²+12k+4)/4

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(k³+3k²+3k+1)

(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(k+1)³

Ou seja, chegamos à conclusão que

1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³=(k^4/4)+(k³/2)+(k²/4)+(k+1)³

Provamos, então, por indução, que a fórmula é válida.

Espero ter ajudado!

Rodrigo muito obrigado mesmo!!!!