Questão Lei de Coulomb

demonstrativo da questão

Q1             Q3              Q2

         2L              L

Vamos supor que a carga \(Q_1\) está no ponto \(x=0\) e a carga \(Q_2\) está no ponto \(x=d_{12}\). Portanto, a carga \(Q_3\) está num ponto entre \(x=0\) e \(x=d_{12}\).

Como as três cargas possuem sinais iguais, a força elétrica que \(Q_1\) exerce sobre \(Q_3\) está no sentido oposto da força elétrica que \(Q_2\) exerce sobre \(Q_3\). Portanto, com o sistema em equilíbrio, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow F_{13} = F_{23}\)

\(F_{13}\) é a força que \(Q_1\) exerce sobre \(Q_3\) e \(F_{23}\) é a força que \(Q_2\) exerce sobre \(Q_3\).

Sendo \(d_{13}\) a distância entre as cargas puntiformes \(Q_1\) e \(Q_3\), a equação anterior fica da seguinte forma:

 \(\Longrightarrow {1 \over 4 \pi \epsilon_0}{|Q_1 Q_3| \over d_{13}^2} = {1 \over 4 \pi \epsilon_0}{|Q_2 Q_3| \over d_{23}^2}\)

\(\Longrightarrow {Q_1 \over d_{13}^2} = {Q_2 \over (d_{12}-d_{13})^2}\)

Pelo enunciado, tem-se que \(Q_1={2 \over 25}Q_2\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {2 \over 25}{Q_2 \over d_{13}^2} = {Q_2 \over (d_{12}-d_{13})^2}\)

\(\Longrightarrow {2 \over 25}{1 \over d_{13}^2} = {1 \over (d_{12}-d_{13})^2}\)

\(\Longrightarrow {25 \over 2} d_{13}^2 = (d_{12}-d_{13})^2\)

\(\Longrightarrow {25 \over 2} d_{13}^2 = d_{12}^2 - 2d_{12}d_{13} + d_{13}^2\)

\(\Longrightarrow {23 \over 2} d_{13}^2 = d_{12}^2 - 2d_{12}d_{13}\)

\(\Longrightarrow {23 \over 2} d_{13}^2 + 2d_{12}d_{13}- d_{12}^2 =0\)

Como a equação resultante está no formato da Fórmula de Bhaskara, com \(a={23 \over 2}\), \(b = 2 d_{12}\) e \(c= - d_{12}^2\). Portanto, o valor de \(\Delta \) é:

\(\Longrightarrow \Delta = b^2 - 4ac\)

\(\Longrightarrow \Delta = (2d_{12})^2 - 4({23 \over 2})(-d_{12}^2)\)

\(\Longrightarrow \Delta = 4d_{12}^2 + 46d_{12}^2\)

\(\Longrightarrow \Delta = 50d_{12}^2\)

Com isso, os valores de \(d_{13}\) é:

\(\Longrightarrow d_{13} = {-b \pm \sqrt{\Delta} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow d_{13} = {-2d_{12} \pm \sqrt{50d_{12}^2} \over 2\cdot 23/2}\)

\(\Longrightarrow d_{13} = {-2d_{12} \pm 5 \sqrt{2}d_{12} \over 23}\)

\(\Longrightarrow d_{13} = {-2 \pm 5 \sqrt{2} \over 23}d_{12}\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} d_{13,1} = 0,22d_{12} \\ d_{13,2} = -0,39d_{12} \end{matrix} \right.\)

Como o valor de \(d_{13}\) não pode ser menor do que zero, seu valor é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ d_{13} = 0,22d_{12} $}\)