Dada a função f ( x , y , z ) = s e n ( y + 2 z ) + ln ( x y z ) + cos ( x + 2 z ) encontre 2 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y − ∂ f ∂ z

∂ f ∂ x  = 0 + 1/x - sen(x+2z) 

∂ f ∂ y = cos(y +2z) + 1/y + 0

∂ f ∂ z = 2cos(y+2z) + 1/z -2sen(x+2z)

com isso... 2 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y − ∂ f ∂ z =

2(1/x - sen(x+2z)) + 2(cos(y +2z) + 1/y) - (2cos(y+2z) + 1/z -2sen(x+2z))

2/x-2sen(x+2z)  +  2cos(y+2z) + 2/y  -2 cos(y+2z) - 1/z -2sen(x+2z)

ou seja... 2 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y − ∂ f ∂ z = 2/x + 2/y - 1/z

Nesse exercício vamos estudar derivadas parciais.

Derivada parcial de um função em relação a uma determinada variável nada mais é que a derivada da função em relação somente àquela variável, mantendo as outras constantes.

É dada a seguinte função:

$$f(x,y,z)=\sin(y+2z)+\ln(xyz)+\cos(x+2z)$$

Derivando em relação a $x$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=0+\dfrac{yz}{xyz}-\sin(x+2z)= \dfrac{1}{x}-\sin(x+2z)$$

Em relação a $y$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\cos(y+2z)+\dfrac{xz}{xyz}+0= \cos(y+2z)+\dfrac{1}{y}$$

E com relação a $z$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial z}=2\cos(y+2z)+\dfrac{1}{z}-2\sin(x+2z)$$

Agora basta calcular a expressão pedida:

$$\boxed{2\dfrac{\partial f}{\partial x}+2\dfrac{\partial f}{\partial y}-\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{z}}$$

Nesse exercício vamos estudar derivadas parciais.

Derivada parcial de um função em relação a uma determinada variável nada mais é que a derivada da função em relação somente àquela variável, mantendo as outras constantes.

É dada a seguinte função:

$$f(x,y,z)=\sin(y+2z)+\ln(xyz)+\cos(x+2z)$$

Derivando em relação a $x$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=0+\dfrac{yz}{xyz}-\sin(x+2z)= \dfrac{1}{x}-\sin(x+2z)$$

Em relação a $y$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\cos(y+2z)+\dfrac{xz}{xyz}+0= \cos(y+2z)+\dfrac{1}{y}$$

E com relação a $z$:

$$\dfrac{\partial f}{\partial z}=2\cos(y+2z)+\dfrac{1}{z}-2\sin(x+2z)$$

Agora basta calcular a expressão pedida:

$$\boxed{2\dfrac{\partial f}{\partial x}+2\dfrac{\partial f}{\partial y}-\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{z}}$$