Como calcular área de intersecção de funções polares?

Há várias maneiras, uma delas é achar o ângulo de intersecção e somar a integral de r=0 até sin(t) com theta = 0 até o ângulo de intersecção, com a integral de r=0 até cos(t) com o ângulo de intersecção até pi/2.

Nesse exercício vamos calcular a área de interseção das curvas $r=\sin\theta$ e $r=\cos\theta$.

Primeiro vamos determinar os pontos de intersecção entre as duas curvas:

$$\sin\theta=\cos\theta\Rightarrow\tan\theta=1\Rightarrow\theta=\dfrac\pi4\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt2}2$$

No intervalo $0<r<\frac{\sqrt2}2$, vamos verificar qual das curvas tem $\theta$ menor:

$$r=\dfrac12\Rightarrow (\arcsin r,\arccos r)=\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi3\right)\Rightarrow \arcsin r<\arccos r$$

Vamos então integrar o diferencial de área nesse intervalo:

$$A=\int_0^{\sqrt2/2}\int_{\arcsin r}^{\arccos r}rd\theta\,dr=\int_0^{\sqrt2/2}\left[r\theta\right]_{\arcsin r}^{\arccos r}\,dr=\int_0^{\sqrt2/2}r(\arccos r-\arcsin r)\,dr$$

Mas lembre-se que $\arcsin r=\frac\pi2-\arccos r$:

$$A=\int_0^{\sqrt2/2}r\left(2\arccos r-\dfrac\pi2\right)\,dr$$

Façamos $\phi=\arccos r\Rightarrow d\phi=-\frac{dr}{\sqrt{1-r^2}}$:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\cos\phi\left(2\phi-\dfrac\pi2\right)\sqrt{1-\cos^2\phi}d\phi =-\int_0^{\sqrt2/2}\cos\phi\left(2\phi-\dfrac\pi2\right)\sin\phi d\phi$$

Separando em uma soma de integrais:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}2\phi\sin\phi\cos\phi d\phi+\dfrac\pi4\int_0^{\sqrt2/2}2\sin\phi\cos\phi d\phi$$

Mas lembre-se que $\sin2\phi=2\sin\phi\cos\phi$:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi+\dfrac\pi4\int_0^{\sqrt2/2}\sin2\phi d\phi$$

Para a segunda integral temos uma integral fundamental:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left[\cos2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Para a primeira integral, vamos integrar por partes, fazendo $(u,dv)=(\phi,\sin2\phi d\phi)\Rightarrow (du,v)=\left(d\phi,-\frac12\cos2\phi\right)$:

$$A=\left[\dfrac\phi2\cos2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}-\dfrac12\int_0^{\sqrt2/2}\cos2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Temos, então uma integral fundamental:

$$A=\dfrac{\sqrt2}4\cos\sqrt2-\dfrac14\left[\sin2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

$$A=\dfrac{\sqrt2}4\cos\sqrt2-\dfrac14\sin\sqrt2-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Finalmente:

$$\boxed{A=\left(\dfrac{\sqrt2}4-\dfrac\pi8\right)\cos\sqrt2-\dfrac14\sin\sqrt2+\dfrac\pi8\approx0,1396}$$

Nesse exercício vamos calcular a área de interseção das curvas $r=\sin\theta$ e $r=\cos\theta$.

Primeiro vamos determinar os pontos de intersecção entre as duas curvas:

$$\sin\theta=\cos\theta\Rightarrow\tan\theta=1\Rightarrow\theta=\dfrac\pi4\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt2}2$$

No intervalo $0<r<\frac{\sqrt2}2$, vamos verificar qual das curvas tem $\theta$ menor:

$$r=\dfrac12\Rightarrow (\arcsin r,\arccos r)=\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi3\right)\Rightarrow \arcsin r<\arccos r$$

Vamos então integrar o diferencial de área nesse intervalo:

$$A=\int_0^{\sqrt2/2}\int_{\arcsin r}^{\arccos r}rd\theta\,dr=\int_0^{\sqrt2/2}\left[r\theta\right]_{\arcsin r}^{\arccos r}\,dr=\int_0^{\sqrt2/2}r(\arccos r-\arcsin r)\,dr$$

Mas lembre-se que $\arcsin r=\frac\pi2-\arccos r$:

$$A=\int_0^{\sqrt2/2}r\left(2\arccos r-\dfrac\pi2\right)\,dr$$

Façamos $\phi=\arccos r\Rightarrow d\phi=-\frac{dr}{\sqrt{1-r^2}}$:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\cos\phi\left(2\phi-\dfrac\pi2\right)\sqrt{1-\cos^2\phi}d\phi =-\int_0^{\sqrt2/2}\cos\phi\left(2\phi-\dfrac\pi2\right)\sin\phi d\phi$$

Separando em uma soma de integrais:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}2\phi\sin\phi\cos\phi d\phi+\dfrac\pi4\int_0^{\sqrt2/2}2\sin\phi\cos\phi d\phi$$

Mas lembre-se que $\sin2\phi=2\sin\phi\cos\phi$:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi+\dfrac\pi4\int_0^{\sqrt2/2}\sin2\phi d\phi$$

Para a segunda integral temos uma integral fundamental:

$$A=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left[\cos2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}=-\int_0^{\sqrt2/2}\phi\sin2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Para a primeira integral, vamos integrar por partes, fazendo $(u,dv)=(\phi,\sin2\phi d\phi)\Rightarrow (du,v)=\left(d\phi,-\frac12\cos2\phi\right)$:

$$A=\left[\dfrac\phi2\cos2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}-\dfrac12\int_0^{\sqrt2/2}\cos2\phi d\phi-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Temos, então uma integral fundamental:

$$A=\dfrac{\sqrt2}4\cos\sqrt2-\dfrac14\left[\sin2\phi\right]_0^{\sqrt2/2}-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

$$A=\dfrac{\sqrt2}4\cos\sqrt2-\dfrac14\sin\sqrt2-\dfrac\pi8\left(\cos\sqrt2-1\right)$$

Finalmente:

$$\boxed{A=\left(\dfrac{\sqrt2}4-\dfrac\pi8\right)\cos\sqrt2-\dfrac14\sin\sqrt2+\dfrac\pi8\approx0,1396}$$