Eletromagnetismo

Nesse exercício vamos estudar a Lei de Coulomb vetorial.

Vamos usar a seguinte expressão para o campo elétrico:

$$\vec E=\dfrac{kq}{r^2}\hat r$$

onde $k\approx9\cdot10^9\ (SI)$ é a constante de Coulomb, $q$ é a carga, $r$ é a distância da carga ao ponto de estudo e $\hat r$ é o versor que aponta da carga para o ponto de estudo.

No nosso caso temos duas cargas. Vamos então usar a lei da superposição de campos:

$$\vec E=\dfrac{kq_1}{r_1^2}\hat r_1+\dfrac{kq_2}{r_2^2}\hat r_2$$

Para os nossos dados globais:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{9\cdot10^9\cdot(-0,3\cdot10^{-6})}{[(x_P-25)^2+(y_P+30)^2+(z_P-15)^2]^{3/2}}[(x_P-25)\hat x+(y_P+30)\hat y+(z_P-15)\hat z]\\&+\dfrac{9\cdot10^9\cdot(0,5\cdot10^{-6})}{[(x_P+10)^2+(y_P-8)^2+(z_P-12)^2]^{3/2}}[(x_P+10)\hat x+(y_P-8)\hat y+(z_P-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(x_P-25)^2+(y_P+30)^2+(z_P-15)^2]^{3/2}}[(x_P-25)\hat x+(y_P+30)\hat y+(z_P-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(x_P+10)^2+(y_P-8)^2+(z_P-12)^2]^{3/2}}[(x_P+10)\hat x+(y_P-8)\hat y+(z_P-12)\hat z]\end{aligned}$$

a) Para esse primeiro item, temos $P=(0,0,0)$:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(0-25)^2+(0+30)^2+(0-15)^2]^{3/2}}[(0-25)\hat x+(0+30)\hat y+(0-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(0+10)^2+(0-8)^2+(0-12)^2]^{3/2}}[(0+10)\hat x+(0-8)\hat y+(0-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\vec E=\dfrac{-2700}{[625+900+225]^{3/2}}[-25\hat x+30\hat y-15\hat z]+\dfrac{4500}{[100+64+144]^{3/2}}[10\hat x-8\hat y-12\hat z]$$

$$\vec E\approx-0,037[-25\hat x+30\hat y-15\hat z]+0,833[10\hat x-8\hat y-12\hat z]$$

Finalmente:

$$\boxed{\vec E\approx(-9,26\hat x-7,77\hat y-9,44\hat z)\ N/C}$$

b) Para o segundo item, temos $P=(15,20,50)$:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(15-25)^2+(20+30)^2+(50-15)^2]^{3/2}}[(15-25)\hat x+(20+30)\hat y+(50-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(15+10)^2+(20-8)^2+(50-12)^2]^{3/2}}[(15+10)\hat x+(20-8)\hat y+(50-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\vec E=\dfrac{-2700}{[100+2500+1225]^{3/2}}[-10\hat x+50\hat y+35\hat z]+\dfrac{4500}{[625+144+1444]^{3/2}}[25\hat x+12\hat y+38\hat z]$$

$$\vec E=-0,011[-10\hat x+50\hat y+35\hat z]+0,043[25\hat x+12\hat y+38\hat z]$$

Finalmente:

$$\boxed{\vec E\approx(1,185\hat x-0,034\hat y+1,249\hat z)\ N/C}$$

Nesse exercício vamos estudar a Lei de Coulomb vetorial.

Vamos usar a seguinte expressão para o campo elétrico:

$$\vec E=\dfrac{kq}{r^2}\hat r$$

onde $k\approx9\cdot10^9\ (SI)$ é a constante de Coulomb, $q$ é a carga, $r$ é a distância da carga ao ponto de estudo e $\hat r$ é o versor que aponta da carga para o ponto de estudo.

No nosso caso temos duas cargas. Vamos então usar a lei da superposição de campos:

$$\vec E=\dfrac{kq_1}{r_1^2}\hat r_1+\dfrac{kq_2}{r_2^2}\hat r_2$$

Para os nossos dados globais:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{9\cdot10^9\cdot(-0,3\cdot10^{-6})}{[(x_P-25)^2+(y_P+30)^2+(z_P-15)^2]^{3/2}}[(x_P-25)\hat x+(y_P+30)\hat y+(z_P-15)\hat z]\\&+\dfrac{9\cdot10^9\cdot(0,5\cdot10^{-6})}{[(x_P+10)^2+(y_P-8)^2+(z_P-12)^2]^{3/2}}[(x_P+10)\hat x+(y_P-8)\hat y+(z_P-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(x_P-25)^2+(y_P+30)^2+(z_P-15)^2]^{3/2}}[(x_P-25)\hat x+(y_P+30)\hat y+(z_P-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(x_P+10)^2+(y_P-8)^2+(z_P-12)^2]^{3/2}}[(x_P+10)\hat x+(y_P-8)\hat y+(z_P-12)\hat z]\end{aligned}$$

a) Para esse primeiro item, temos $P=(0,0,0)$:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(0-25)^2+(0+30)^2+(0-15)^2]^{3/2}}[(0-25)\hat x+(0+30)\hat y+(0-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(0+10)^2+(0-8)^2+(0-12)^2]^{3/2}}[(0+10)\hat x+(0-8)\hat y+(0-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\vec E=\dfrac{-2700}{[625+900+225]^{3/2}}[-25\hat x+30\hat y-15\hat z]+\dfrac{4500}{[100+64+144]^{3/2}}[10\hat x-8\hat y-12\hat z]$$

$$\vec E\approx-0,037[-25\hat x+30\hat y-15\hat z]+0,833[10\hat x-8\hat y-12\hat z]$$

Finalmente:

$$\boxed{\vec E\approx(-9,26\hat x-7,77\hat y-9,44\hat z)\ N/C}$$

b) Para o segundo item, temos $P=(15,20,50)$:

$$\begin{aligned}\vec E=&\dfrac{-2700}{[(15-25)^2+(20+30)^2+(50-15)^2]^{3/2}}[(15-25)\hat x+(20+30)\hat y+(50-15)\hat z]\\&+\dfrac{4500}{[(15+10)^2+(20-8)^2+(50-12)^2]^{3/2}}[(15+10)\hat x+(20-8)\hat y+(50-12)\hat z]\end{aligned}$$

$$\vec E=\dfrac{-2700}{[100+2500+1225]^{3/2}}[-10\hat x+50\hat y+35\hat z]+\dfrac{4500}{[625+144+1444]^{3/2}}[25\hat x+12\hat y+38\hat z]$$

$$\vec E=-0,011[-10\hat x+50\hat y+35\hat z]+0,043[25\hat x+12\hat y+38\hat z]$$

Finalmente:

$$\boxed{\vec E\approx(1,185\hat x-0,034\hat y+1,249\hat z)\ N/C}$$