Dado um pentágono regular de centro O mostre que a soma dos vetores que ligam o centro do pentágono aos vértices é o vetor nulo Alguém me ajuda ?

scds

Nesse exercício vamos estudar soma vetorial.

Tomemos um pentágono regular cuja distância entre o centro e cada vértice é dada por $R$. Como o pentágono é regular, o ângulo entre os vetores a serem somados é:

$$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$$

Para os vetores temos, portanto:

$$\vec v_k=\hat xR\cos(k\theta)+ \hat yR\sin(k\theta)$$

E para a soma:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\sum\limits_{k=0}^4\cos(k\theta)+ \hat yR\sum\limits_{k=0}^4\sin(k\theta)$$

Mas perceba que:

$$k=n\Rightarrow k\theta=\dfrac{2n\pi}{5}$$

$$k=5-n\Rightarrow k\theta=\dfrac{10\pi-n\pi}{5}=2\pi-\dfrac{2n\pi}{5}$$

Ou seja:

$$n\theta+(5-n)\theta=2\pi$$

De forma que:

$$\sin[(5-n)\theta]=-\sin(n\theta)$$

$$\cos[(5-n)\theta]=\cos(n\theta)$$

Dessa forma podemos simplificar a soma procurada para:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR(\cos0+2\cos\theta+2\cos2\theta)+ \hat yR\sin0$$

Mas conhecemos as funções trigonométricas de 0:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(1+2\cos\theta+2\cos2\theta\right)$$

Lembremos da identidade trigonométrica do cosseno do arco duplo:

$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$$

Substituindo na nossa expressão, temos:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left[1+2\cos\theta+2(2\cos^2\theta-1)\right]$$

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1\right)$$

Basta-nos agora determinar $\cos\theta$. Para tal, lembre-se de que:

$$\cos\theta=\cos4\theta$$

Vamos então resolver essa equação:

$$\cos\theta=2\cos^22\theta-1$$

$$\cos\theta=2(2\cos^2\theta-1)^2-1$$

$$\cos\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$$

$$8\cos^4\theta-8\cos^2\theta-\cos\theta+1=0$$

Perceba que $\cos\theta=1$ é raiz, afinal $\cos0=\cos4\cdot0$:

$$8\cos^3\theta(\cos\theta-1)+8\cos^2\theta(\cos\theta-)-(\cos\theta-1)=0$$

$$(8\cos^3\theta+8\cos^2\theta-1)(\cos\theta-1)=0$$

Perceba também que $\cos\theta=-\dfrac12$ é raiz, afinal $\cos\frac{4\pi}{6}=\cos\frac{16\pi}{6}$:

$$[4\cos^2\theta(2\cos\theta+1)+2\cos\theta(2\cos\theta+1)-(2\cos\theta+1)](\cos\theta-1)=0$$

$$(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1)(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)=0$$

Não queremos as duas últimas raízes, de forma que para o nosso caso:

$$4\cos^2\theta+2\cos\theta-1=0$$

Mas relembre o somatório:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1\right)$$

Acabamos de demonstrar que o resultado na direção $x$ também é nulo. Dessa forma:

$$\boxed{$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=0}$$

Nesse exercício vamos estudar soma vetorial.

Tomemos um pentágono regular cuja distância entre o centro e cada vértice é dada por $R$. Como o pentágono é regular, o ângulo entre os vetores a serem somados é:

$$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$$

Para os vetores temos, portanto:

$$\vec v_k=\hat xR\cos(k\theta)+ \hat yR\sin(k\theta)$$

E para a soma:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\sum\limits_{k=0}^4\cos(k\theta)+ \hat yR\sum\limits_{k=0}^4\sin(k\theta)$$

Mas perceba que:

$$k=n\Rightarrow k\theta=\dfrac{2n\pi}{5}$$

$$k=5-n\Rightarrow k\theta=\dfrac{10\pi-n\pi}{5}=2\pi-\dfrac{2n\pi}{5}$$

Ou seja:

$$n\theta+(5-n)\theta=2\pi$$

De forma que:

$$\sin[(5-n)\theta]=-\sin(n\theta)$$

$$\cos[(5-n)\theta]=\cos(n\theta)$$

Dessa forma podemos simplificar a soma procurada para:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR(\cos0+2\cos\theta+2\cos2\theta)+ \hat yR\sin0$$

Mas conhecemos as funções trigonométricas de 0:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(1+2\cos\theta+2\cos2\theta\right)$$

Lembremos da identidade trigonométrica do cosseno do arco duplo:

$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$$

Substituindo na nossa expressão, temos:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left[1+2\cos\theta+2(2\cos^2\theta-1)\right]$$

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1\right)$$

Basta-nos agora determinar $\cos\theta$. Para tal, lembre-se de que:

$$\cos\theta=\cos4\theta$$

Vamos então resolver essa equação:

$$\cos\theta=2\cos^22\theta-1$$

$$\cos\theta=2(2\cos^2\theta-1)^2-1$$

$$\cos\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$$

$$8\cos^4\theta-8\cos^2\theta-\cos\theta+1=0$$

Perceba que $\cos\theta=1$ é raiz, afinal $\cos0=\cos4\cdot0$:

$$8\cos^3\theta(\cos\theta-1)+8\cos^2\theta(\cos\theta-)-(\cos\theta-1)=0$$

$$(8\cos^3\theta+8\cos^2\theta-1)(\cos\theta-1)=0$$

Perceba também que $\cos\theta=-\dfrac12$ é raiz, afinal $\cos\frac{4\pi}{6}=\cos\frac{16\pi}{6}$:

$$[4\cos^2\theta(2\cos\theta+1)+2\cos\theta(2\cos\theta+1)-(2\cos\theta+1)](\cos\theta-1)=0$$

$$(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1)(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)=0$$

Não queremos as duas últimas raízes, de forma que para o nosso caso:

$$4\cos^2\theta+2\cos\theta-1=0$$

Mas relembre o somatório:

$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=\hat xR\left(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1\right)$$

Acabamos de demonstrar que o resultado na direção $x$ também é nulo. Dessa forma:

$$\boxed{$$\sum\limits_{k=0}^4\vec v_k=0}$$