Uma linha que sempre passa pelo mesmo ponto?

Perceba:

se k= 0 então y - x = 3

se k=1 então y= 18

se k= 2 então x + y = 33

Aplicando y = 18 na primeira equação teremos que x=15.

Note que  (x,y) = (15,18) é solução para a terceira equação também, e será solução para qualquer valor de k que escolhermos.

O que acontece é que a equação (k-1)x + y = 15k + 3 descreve uma superfície tridimencional[ só que ao invés de (x,y,z) temos (y,x,k)] que intercepta o eixo k em x=15 e y=18. 

Se reescrevermos a equação como  y = (k-1)x +15k + 3 , temos que o parâmetro (k+1) = m altera a inclinação da reta y = mx+n, enquanto o parâmetro (15k+3) = n "desliza" tal reta. 

Como se trata de uma equação de 1º grau, vamos primeiro colocá-la na sua forma padrão:

\(y= (1-k)x+(15k+3)\)

Ou seja, lembrando que as equações de 1º grau são formadas por um:

\(y= ax+b\)

Temos que, neste caso:

\(a = 1-k \)

\(b = 15k+3\)

Obs: Não confundir tal a e b, coeficientes angular e linear, com os A e B do ponto dado.

Feito isso, vamos verificar se tal função passa sempre no mesmo ponto. Para tal, vamos analisar as possibilidades, utilizando alguns valores de K.

Para K=-1, temos:

\(y= (1-(-1))x+(15(-1)+3) = 2x-12\)

Para K=0, temos:

\(y= (1-(0))x+(15(0)+3) = x+3\)

Para K=1, temos:

\(y= (1-(1))x+(15(1)+3) = 18\)

Portanto, se tais retas passam sempre no mesmo ponto (A,B) podemos deduzir as seguintes igualdades:

\(2x-12 = x+3 = 18\)

Daí tiramos que:

\(x=15\)

\(y=18\)

Ou seja, o ponto P seria o par ordenado (15,18) e a soma desses valores (A+B) seria então 15+18=33

Isto só é possível pelo fato de que os coeficientes (Linear e angular) foram projetados, em função de K, de uma forma que geram sempre os mesmos valores para x e y.