Como resolver a integral de (t.ln|t|)dt?

é só fazer integração por partes:

X=int u.dv=u.v- int v.du

u= lnt  du=1/t dt

dv= t.dt  v=t^2/2

X= (lnt.t^2)/2 -1/2 int t.dt

X=(t^2.lnt)/2 - t^2/4 + c

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Vamos calcular a seguinte integral:

\[I=\int t\ln\left|t\right|dt\]

Vamos integrar por partes:

\[du=tdt\Rightarrow u=\dfrac{t^2}2\]

\[v=\ln \left|t\right|\Rightarrow dv=\dfrac1tdt\]

Lembrando da expressão da integral por partes:

\[\int v\,du=uv-\int u\,dv\]

Substituindo na nossa integral, temos:

\[I=\dfrac{t^2}2\ln\left|t\right|-\int \dfrac{t}2dt\]

\[I=\dfrac{t^2}2\ln\left|t\right|-\dfrac{t^2}4+C\]

Então:

\[I=\dfrac{t^2}4\left(2\ln\left|t\right|-1\right)+C\]

Usando a propriedade multiplicativa do logaritmo, temos:

\[I=\dfrac{t^2}4(\ln t^2-\ln e)+C\]

Usando a propriedade de diferença de logaritmos, temos:

\[I=\dfrac{t^2}4\ln\dfrac{t^2}e+C\]

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Temos, então, o resultado final:

\[\boxed{\int t\ln\left|t\right|dt=\dfrac{t^2}4\ln\dfrac{t^2}e+C}\]