Equacao geral do plano, sabem ??

base*altura

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Temos o plano \(\pi\) cuja equação geral é dada por:

\[ax+by+cz+d=0\]

Sabe-se que a reta dada pela expressão abaixo está contida no plano:

\[X=(-3,2,1)+\lambda(0,2,-3)=(-3,2+2\lambda,1-3\lambda)\]

Vamos substituir na equação do plano:

\[a(-3)+b(2+2\lambda)+c(1-3\lambda)+d=0\]

\[-3a+2b+2\lambda b+c-3\lambda c+d=0\]

\[(2b-3c)\lambda+(-3a+2b+c+d)=0\]

Isso deve ser válido para qualquer valor de \(\lambda\), logo:

\[\begin{cases}2b-3c=0\\-3a+2b+c+d=0\end{cases}\]

Sabemos ainda que a reta \(s\) é paralela ao plano, e pra isso acontecer, o vetor normal ao plano deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta:

\[(a,b,c)\cdot(4,0,2)=0\]

\[4a+2c=0\]

\[2a+c=0\]

Temos agora o seguinte sistema de equações:

\[\begin{cases}2b-3c=0\\-3a+2b+c+d=0\\2a+c=0\end{cases}\]

Multiplicando a segunda equação por 2, temos:

\[-6a+4b+2c+2d=0\]

Substituindo a primeira e a terceira equações nela, temos:

\[3c+6c+2c+2d=0\Rightarrow \dfrac{c}{d}=-\dfrac2{11}\]

Fazendo a seguinte combinação linear entre as linhas do sistema de equações:

\[L_2-\dfrac12L_1+2L_3\]

Temos:

\[(-3a+2b+c+d)-\dfrac12(2b-3c)+2(2a+c)=0\]

\[(a+b+c+d)+\dfrac32c+2c=0\]

\[(a+b+c)+\dfrac72c+d=0\]

Dividindo por \(d\), temos:

\[\dfrac{a+b+c}{d}+\dfrac72\cdot\dfrac{c}{d}+1=0\]

\[\dfrac{a+b+c}{d}-\dfrac7{11}+1=0\]

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Finalmente:

\[\boxed{\dfrac{a+b+c}{d}=-\dfrac4{11}\approx-0,36}\]