Mostre que o conjunto Q = {1, 1 + t, 1 + t + t² } é uma base para P2.

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Para começar, vamos lembrar a definição de base para a álgebra linear. Uma base é um conjunto de elementos linearmente independentes que geram um determinado conjunto.

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Para que um conjunto de elementos seja linearmente independentes, o único conjunto de coeficientes que tornam a seguinte equação verdadeira para qualquer valor da variável é o conjunto de coeficiente nulos:

\[\sum a_ie_i=0\]

Para o nosso caso:

\[a_0(1)+a_1(1+t)+a_2(1+t+t^2)\equiv0\]

\[(a_0+a_1+a_2)+(a_1+a_2)t+a_2t^2\equiv0+0t+0t^2\]

Logo temos o seguinte sistema de equações:

\[\begin{cases}a_2=0\\a_1+a_2=0\Rightarrow a_1=0\\a_0+a_1+a_2=0\Rightarrow a_0=0\end{cases}\]

O que nos leva somente a coeficientes nulos, o que torna o conjunto dado linearmente independente.

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Vamos verificar se se o conjunto dado gera \(P_2\):

\[at^2+bt+c=a_0(1)+a_1(1+t)+a_2(1+t+t^2) Vamos então determinar \$a_i\$ em função dos coeficientes do polinômio:\]
at^2+bt+c=a_2t2+(a_1+a_2)t+(a_0+a_1+a_2)\(\)\begin{cases}a_2=a\\a_1+a_2=b\Rightarrow a_1=b-a\\a_0+a_1+a_2=c\Rightarrow a_0=c-b\end{cases}\(P_2\) pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos do conjunto dado, de forma que ele gera \(P_2\):">\(Isto é, qualquer polinômio de \(P_2\) pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos do conjunto dado, de forma que ele gera \(P_2\):\)at^{2+bt+c=(c-b)\cdot(1)+(b-a)\cdot(1+t)+a(1+t+t}2)\(P_2\):">\(--- Concluímos, portanto, que o conjunto a seguir é uma base de \(P_2\):\)\boxed{Q=\{1,1+t,1+t+t^2\}}\(\)