Considere o espaço vetorial V = P2 (R) . (a) (1, 0 ponto) Mostre que β = {1 + t, 1− t, t2} é uma base V. (b) (1, 0 ponto) Seja p (t) = 3 + 4t+ 10t2...

(a) Para mostrar que β = {1 + t, 1− t, t²} é uma base de V = P2(R), precisamos verificar duas coisas: que β é um conjunto gerador de V e que β é linearmente independente. Para mostrar que β é um conjunto gerador de V, precisamos mostrar que qualquer polinômio p(t) de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de β. Seja p(t) = at² + bt + c um polinômio qualquer de grau 2. Então, podemos escrever: p(t) = (a + b) (1 + t) + (c - a) (1 - t) + (a) t² Assim, mostramos que p(t) é uma combinação linear dos elementos de β. Portanto, β é um conjunto gerador de V. Para mostrar que β é linearmente independente, precisamos mostrar que a única combinação linear dos elementos de β que resulta no polinômio nulo é a combinação trivial. Ou seja, se a (1 + t) + b (1 - t) + c t² = 0 para todo t, então a = b = c = 0. Podemos escrever: a (1 + t) + b (1 - t) + c t² = (a + b) + (a - b) t + c t² Igualando os coeficientes de cada termo, temos o sistema de equações: a + b = 0 a - b = 0 c = 0 A solução desse sistema é a = b = c = 0. Portanto, β é linearmente independente e, portanto, é uma base de V. (b) Para verificar se p(t) ∈ [1 - t, 4 + t²], precisamos encontrar polinômios q(t) e r(t) tais que p(t) = q(t) (1 - t) + r(t) (4 + t²) e deg(r(t)) < deg(4 + t²) = 2. Podemos escrever: p(t) = q(t) (1 - t) + r(t) (4 + t²) 3 + 4t + 10t² = q(t) (1 - t) + r(t) (4 + t²) Igualando os coeficientes de cada termo, temos o sistema de equações: q(t) + 4r(t) = 3 -q(t) + r(t) = 4 r(t) = 10 Resolvendo esse sistema, encontramos q(t) = -7 e r(t) = 10. Portanto, p(t) = -7 (1 - t) + 10 (4 + t²). Como deg(r(t)) = 2 < deg(4 + t²) = 2, concluímos que p(t) ∈ [1 - t, 4 + t²].