Simplifique os radicais: raiz quadrada de 98 ,raiz quadrada de 27,raiz cúbica de 729,raiz quadrada de 363,raiz cúbica de 108 ,raiz quinta de 224,raiz

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Para simplificar radicais, reescreveremos os números em fatores primos, ou seja, na forma de multiplicação de números primos. Ou seja, podemos escrever o número \(98\) como \(2 \cdot 7 \cdot 7 = 2 \cdot {7^2} = 98\).

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Assim, quando reescrevemos o número dentro da raiz, podemos fazer a simplicação. Temos então:

\[\sqrt {98} = \sqrt {2 \cdot {7^2}} = 7\sqrt 2\]

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Façamos isso para todas as raízes propostas pelo exercício.

\[27 = 3 \cdot 3 \cdot 3\]

\[363 = 3 \cdot 11 \cdot 11\]

\[108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\]

\[224 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7\]

\[240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\]

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Assim, podemos reescrever as raízes e simplificá-las, confome mostra abaixo.

\[\sqrt {27} = \sqrt {3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt {3 \cdot {3^2}} = 3\sqrt 3\]

\[\root 3 \of {729} = \root 3 \of {3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \root 3 \of {{3^6}} = {3^2} = 9\]

\[\sqrt {363} = \sqrt {3 \cdot 11 \cdot 11} = \sqrt {3 \cdot {{11}^2}} = 11\sqrt 3\]

\[\root 3 \of {108} = \root 3 \of {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \root 3 \of {{2^2} \cdot {3^2} \cdot 3} = 2 \cdot 3\root 3 \of 3 = 6\root 3 \of 3\]

\[\root 5 \of {224} = \root 5 \of {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7} = \root 5 \of {{2^5} \cdot 7} = 2\root 5 \of 7\]

\[\root 4 \of {240} = \root 4 \of {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \root 4 \of {{2^4} \cdot 3 \cdot 5} = 2\root 4 \of {3 \cdot 5} = 2\root 4 \of {15}\]

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Assim temos que a simplificação de \(\sqrt {98} ,{\rm{ }}\sqrt {27} ,{\rm{ }}\root 3 \of {729} ,{\rm{ }}\sqrt {363} ,{\rm{ }}\root 3 \of {108} ,{\rm{ }}\root 5 \of {224} ,{\rm{ }}\root 4 \of {240}\) são, respectivamente, \(\boxed{{7\sqrt 2 ,{\rm{ 3}}\sqrt 3 ,{\rm{ }}9,{\rm{ 11}}\sqrt 3 ,{\rm{ 6}}\root 3 \of 3 ,{\rm{ 2}}\root 5 \of 7 ,{\rm{ 2}}\root 4 \of {15} }}\)