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Considere uma função

5. Considere uma função linear afim f(x) = ax + b, onde
a e b são constantes. Se g(x) = cx + d é também linear
afim, é sempre verdade que f(g(x)) = g(f(x)).

Cálculo I

UNICAMP


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para resolver essa questão, vamos calcular as expressões de \(f\left( {g\left( x \right)} \right)\) e \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\) e, por fim, igualar as expressões para verificar a validade da proposição.

---

Para calcular \(f\left( {g\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(f(x)\) por \(g(x)\):


\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= a \cdot g\left( x \right) + b\cr&= a\left( {cx + d} \right) + b\cr&= acx + ad + b }\]

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Para calcular \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(g(x)\) por \(f(x)\):


\[\eqalign{ g\left( {f\left( x \right)} \right) &= c \cdot f\left( x \right) + d\cr&= c\left( {ax + b} \right) + d\cr&= acx + bc + d }\]

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Agora, vamos igualar as duas expressões encontradas para avaliar a veracidade da proposição:


\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= g\left( {f\left( x \right)} \right)\cracx + ad + b &= acx + bc + d\crad + b &= bc + d\crad - d &= bc - b\crd\left( {a - 1} \right) &= b\left( {c - 1} \right) }\]

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Portanto, a proposição somente é verdadeira quando os coeficientes das funções lineares afins obedecem a relação \(\boxed{d\left( {a - 1} \right) = b\left( {c - 1} \right)}\).

Para resolver essa questão, vamos calcular as expressões de \(f\left( {g\left( x \right)} \right)\) e \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\) e, por fim, igualar as expressões para verificar a validade da proposição.

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Para calcular \(f\left( {g\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(f(x)\) por \(g(x)\):


\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= a \cdot g\left( x \right) + b\cr&= a\left( {cx + d} \right) + b\cr&= acx + ad + b }\]

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Para calcular \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(g(x)\) por \(f(x)\):


\[\eqalign{ g\left( {f\left( x \right)} \right) &= c \cdot f\left( x \right) + d\cr&= c\left( {ax + b} \right) + d\cr&= acx + bc + d }\]

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Agora, vamos igualar as duas expressões encontradas para avaliar a veracidade da proposição:


\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= g\left( {f\left( x \right)} \right)\cracx + ad + b &= acx + bc + d\crad + b &= bc + d\crad - d &= bc - b\crd\left( {a - 1} \right) &= b\left( {c - 1} \right) }\]

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Portanto, a proposição somente é verdadeira quando os coeficientes das funções lineares afins obedecem a relação \(\boxed{d\left( {a - 1} \right) = b\left( {c - 1} \right)}\).

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Douglas Oliveira

Há mais de um mês

f(g(x))=ag(x)+b =a(cx+d)+b=(ac)x+ad+b

por outro lado, g(f(x))=cf(x)+d=c(ax+b)+d=(ac)x+cb+d

 

Portanto a afirmação é falsa

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas