Considere uma função

f(g(x))=ag(x)+b =a(cx+d)+b=(ac)x+ad+b

por outro lado, g(f(x))=cf(x)+d=c(ax+b)+d=(ac)x+cb+d

Portanto a afirmação é falsa

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Para calcular \(f\left( {g\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(f(x)\) por \(g(x)\):

\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= a \cdot g\left( x \right) + b\cr&= a\left( {cx + d} \right) + b\cr&= acx + ad + b }\]

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Para calcular \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\), vamos substituir \(x\) em \(g(x)\) por \(f(x)\):

\[\eqalign{ g\left( {f\left( x \right)} \right) &= c \cdot f\left( x \right) + d\cr&= c\left( {ax + b} \right) + d\cr&= acx + bc + d }\]

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Agora, vamos igualar as duas expressões encontradas para avaliar a veracidade da proposição:

\[\eqalign{ f\left( {g\left( x \right)} \right) &= g\left( {f\left( x \right)} \right)\cracx + ad + b &= acx + bc + d\crad + b &= bc + d\crad - d &= bc - b\crd\left( {a - 1} \right) &= b\left( {c - 1} \right) }\]

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Portanto, a proposição somente é verdadeira quando os coeficientes das funções lineares afins obedecem a relação \(\boxed{d\left( {a - 1} \right) = b\left( {c - 1} \right)}\).