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1. Saindo do primeiro sinaleiro:

Primeiro, tem-se o trecho a respeito do primeiro sinaleiro:

• “após 5 segundos, os motoristas aceleram os carros até atingirem a velocidade média de 50 km/h. Durante o início do movimento, os carros precisam de 3,6 segundos para atingirem a velocidade de 50 km/h”

Portanto, trata-se a análise de um Movimento Retilíneo Uniformemente Variável (MRUV).

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Convertendo a velocidade de \(50 \text{km/h}\) para \(m/s\), seu novo valor é:

\[\begin{align} v&=50 \text{ km/h} \\ &=50 \cdot 10^3\text{ m/3.600 min} \\ &=13,89 \text{ m/s} \end{align}\]

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Supondo que o primeiro sinaleiro fique com sinal verde no instante \(t=0 \text{ s}\), os carros começam a acelerar no instante \(t=5 \text{ s}\). Portanto, o valor da velocidade inicial \(v_{0}\) é:

\[v_{0}=0 \text{ m/s}\]

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Uma vez que o carro atinge a velocidade \(v=50 \text{ km/h} =13,89 \text{ m/s}\) em \(3,6 \text{ s}\), sua aceleração é igual a:

\[\begin{align} a&={13,89 \text{m/s} \over 3,6 \text{ s}} \\ &=3,86 \text{ m/s}^2 \end{align}\]

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Portanto, a distância percorrida pelos carros até chegar à velocidade \(v=13,89 \text{ m/s}\) é:

\[\begin{align} s&=s_0+v_0t+{a \over 2}t^2 \\ &=0+0\cdot 3,6+{3,86 \over 2}(3,6)^2 \\ &= 25 \text{ m} \end{align}\]

Portanto, após o primeiro sinaleiro abrir, os carros demoram \(t=5+3,6 \text{ s} = 8,6 \text{ s}\) e percorrem \(s=25 \text{ m}\) para alcançar a velocidade constante de \(v=13,89 \text{ m/s}\) .

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1. Indo do primeiro até o segundo sinaleiro:

Agora, tem-se os trechos:

• “As distâncias entre o primeiro e o segundo sinaleiro é de 350 metros”
• “quando os carros da primeira fileira estiverem a 20 metros de cada sinaleiro, então, estes deverão ficar abertos, ou seja, com o sinal verde”.

Ou seja, quando os carros estiverem a \(350-20=330 \text{ m}\) do primeiro sinaleiro, o segundo sinaleiro já deve estar com o sinal verde.

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No entanto, após os carros atingirem a velocidade constante de \(v=50 \text{ km/h} =13,89 \text{ m/s}\), eles já estão a \(25 \text{ m}\) do primeiro sinaleiro. Portanto, a distância restante até um ponto \(20 \text{ m}\) atrás do segundo sinaleiro é:

\[\begin{align} s &= 330-25 \\ &=305 \text{ m} \end{align}\]

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Agora, tem-se a análise de um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Portanto, o tempo que os carros levam para percorrer a distância de \(305 \text{ m}\) é:

\[\begin{align} t &= {s \over v} \\ &={305 \over 13,89} \\ &= 21,96 \text{ s}\end{align}\]

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Considerando os \(8,6 \text{ s}\) que o carro demora para atingir a velocidade constante, o tempo máximo que o segundo sinaleiro pode levar para abrir (após o primeiro abrir) é:

\[\begin{align} t &= 8,6+21,96 \\ &= 30,56 \text{ s}\end{align}\]

Ou seja, após o primeiro sinaleiro abrir, os carros levam \(30,56 \text{ s}\) para chegar a um ponto a \(20 \text{ m}\) do segundo sinaleiro.

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1. Indo do segundo até o terceiro sinaleiro:

Agora, tem-se o trecho:

• “As distâncias…entre o segundo e o terceiro [sinaleiro] é de 300 metros.”

Considerando que os carros iniciais não pararam no segundo sinaleiro, tem-se novamente a análise de um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

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O tempo \(t = 30,56 \text{ s}\) corresponde ao tempo no qual os carros iniciais estão \(20 \text{ m}\) atrás do segundo sinaleiro. No entanto, seguindo a lógica do trecho “quando os carros da primeira fileira estiverem a 20 metros de cada sinaleiro, então, estes deverão ficar abertos, ou seja, com o sinal verde”, o terceiro sinaleiro já deve estar aberto quando o carro estiver \(20 \text{ m}\) atrás dele. Portanto, o deslocamento a ser analisado agora continua sendo igual a:

\[s=300 \text{ m}\]

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Portanto, seguindo à velocidade constante \(v=50 \text{ km/h} =13,89 \text{ m/s}\), o tempo que leva do ponto a \(20 \text{ m}\) do segundo sinaleiro até o ponto a \(20 \text{ m}\) do terceiro sinaleiro é:

\[\begin{align} t &= {s \over v} \\ &={300 \over 13,89} \\ &= 21,6 \text{ s}\end{align}\]

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Considerando os \(30,56 \text{ s}\) calculados anteriormente, o tempo que leva do primeiro sinaleiro até um ponto a \(20 \text{ m}\) do terceiro sinaleiro é:

\[\begin{align} t &= 30,56+21,6 \\ &= 52,16 \text{ s} \end{align}\]

Ou seja, após o primeiro sinal abrir, os carros levam \(52,16 \text{ s}\) para chegar a um ponto a \(20 \text{ m}\) do terceiro sinaleiro.

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1. Tempo total do primeiro ao terceiro sinaleiro:

Levando em conta os \(20 \text{ m}\) restantes do terceiro sinaleiro, o tempo total \(t_{total}\) é:

\[\begin{align} t_{total} &= 52,16 + {s \over v} \\ &= 52,16 + {20 \text{ m} \over 13,89 \text{ m/s}} \\ &= 53,6 \text{ s} \end{align}\]

Ou seja, do instante de abertura do primeiro sinaleiro até a ultrapassagem do terceiro, passam-se \(t_{total}=53,6 \text{ s}\).

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Agora, os itens propostos pelo enunciado serão respondidos.

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1)

Neste item, serão citados os principais conceitos de mecânica que o problema envolve.

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Pelos trechos analisados anteriormente, tem-se o seguinte:

• Quando os carros saem do primeiro sinaleiro, eles se submetem a uma aceleração (velocidade variável), o que caracteriza um Movimento Retilíneo Uniformemente Variável (MRUV).
• Depois, quando o carro adquire a velocidade constante de \(v=50 \text{ km/h} =13,89 \text{ m/s}\), tem-se uma situação de _Movimento Retilíneo Uniforme_ (MRU).

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Concluindo, o problema envolve conceitos de Movimento Retilíneo Uniformemente Variável (MRUV) e Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

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2)

Agora, os resultados numéricos encontrados anteriormente serão analisados.

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Conforme calculado, tem-se as seguintes conclusões:

• Após o primeiro sinaleiro abrir, os carros demoram \(t= 8,6 \text{ s}\) para alcançar a velocidade constante de \(v=50 \text{ km/h}\) .
• Para a velocidade constante de \(v=50 \text{ km/h}\) ser mantida durante o restante do trajeto, tem-se as seguintes condições:
• O segundo sinaleiro deve estar aberto, no máximo, \(30,56 \text{ s}\) após o primeiro sinaleiro abrir.
• O terceiro sinaleiro deve estar aberto, no máximo, \(52,16 \text{ s}\) após o primeiro sinaleiro abrir.
• Do instante de abertura do primeiro sinaleiro até a ultrapassagem do terceiro, passam-se \(t_{total}=53,6 \text{ s}\).

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No entanto, o enunciado tem a seguinte condição:

• “três sinaleiros estão sincronizados de modo que o fluxo de carros flua por um período não superior a 50 segundos”

Pelo valor \(t_{total}=53,6 \text{ s}\), nota-se que a condição dos \(50 \text{ s}\) não foi obedecida.

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Concluindo, após o primeiro sinaleiro abrir, os carros da primeira fileira não conseguem passar pelo terceiro sinaleiro em menos de \(50 \text{ s}\), porque o tempo real desse fluxo é \(\boxed{t_{total}=53,6 \text{ s}}\).