me ajudem nessa questão? ESTATÍSTICA

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O enunciado nos diz que de uma turma de 40 alunos, 6 tiraram 5, \(X\) tiraram 6, 3 tiraram 7, \(Y\) tiraram 8, \(Z\) tiraram 9 e 1 tirou 10. A primeira equação que temos vem da quantidade de alunos:

\[6+X+3+Y+Z+1=40\Rightarrow X+Y+Z=30\]

A média da turma foi 6,85. Matematicamente, temos:

\[\dfrac{1}{40}\sum f_iN_i=6,85\]

\[\dfrac{5\cdot6+6X+7\cdot3+8Y+9Z+10\cdot1}{40}=6,85\]

Multiplicando por 40 e simplificando o atual numerador, temos:

\[30+6X+21+8Y+9Z+10=274\]

\[6X+8Y+9Z=213\]

Para a terceira equação, vamos levar em consideração a mediana. É dito que a mediana é 6,5. Como não existe essa nota na sequência, a única forma disso ocorrer é se o número de notas menores ou iguais a 6 for igual ao número de notas maiores ou iguais a 7:

\[6+X=3+Y+Z+1\]

\[X-Y-Z=-2\]

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Juntando as três equações em um sistema, temos:

\[\begin{cases}X+Y+Z=30\\6X+8Y+9Z=213\\X-Y-Z=-2\end{cases}\]

Somando a primeira com a última equação, temos:

\[2X=28\Rightarrow X=14\]

Vamos reescrever o sistema inserindo essa informação:

\[\begin{cases}14+Y+Z=30\\6\cdot14+8Y+9Z=213\\14-Y-Z=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}Y+Z=16\\8Y+9Z=129\\Y+Z=16\end{cases}\]

Multiplicando a primeira equação por 8 e subtraindo da segunda, temos:

\[Z=129-16\cdot8=129-128=1\]

Por último, substituindo na primeira equação, temos:

\[Y=16-Z=15\]

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O exercício pede a nota modal, isto é, a nota que aparece mais vezes, ou de maior frequência. Na tabela original a maior frequência é 6. Dentre os valores obtidos das equações, o maior é \(Y=15\), frequência da nota 8, logo a nota modal é 8, o que é indicado na alternativa C.