Determine a solução da equação linear  y′ + 4y/x = x^4

Letra D. Tentei mandar a foto mas não foi. Quiser ...81997011759

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Reescrevendo a equação, temos

\[\dfrac{dy(x)}{dx}+\dfrac{4y(x)}{x}=x^4\]

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Seja \(\mu(x)=e^\int{\dfrac{4}{x}dx}=x^4\) e multiplicando ambos os lados por \(\mu(x)\):

\[x^4 \dfrac{dy(x)}{dx} + 4x^3y(x) = x^8\]

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Substituindo \(4x^3 = \dfrac{d}{dx}x^4\):

\[x^4 \dfrac{dy(x)}{dx} + \dfrac{d}{dx}x^4y(x) = x^8\]

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Pela regra do produto para diferenciação, temos que \(f\dfrac{dg}{dx}+g\dfrac{df}{dx}=\dfrac{d}{dx}(fg)\), fazendo \(f(x)=x^4\) e \(g(x)=y(x)\), temos

\[\dfrac{d}{dx}\big(x^4y(x)\big)=x^8\]

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Integrando ambos os lados em relação a \(x\), vem

\[\begin{aligned} \int{\dfrac{d}{dx}\big(x^4y(x)\big)dx} &= \int{x^8dx} \Longleftrightarrow \\ x^4y(x) &= \dfrac{x^9}{9} + C \end{aligned}\]

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Finalmente, isolando \(y(x)\):

\[\begin{aligned} y(x) &= \dfrac{\dfrac{x^9}{9}+C}{x^4} \\ &= \dfrac{x^5}{9} + \dfrac{C}{x^4} \end{aligned}\]

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Portanto, a solução da equação \(y'+\dfrac{4y}{x}=x^4\) é \(\boxed{y(x)=\dfrac{x^5}{9}+\dfrac{C}{x^4}}\).