Sejam B e C dois pontos distintos e M o ponto médio de BC. Mostre que se A é um ponto qualquer, então AB+AC=2AM?

\[\vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AM}\]

Para a demonstração, tomemos os pontos como vetores cuja origem é dada pela origem do sistema de coordenadas, de forma que:

\[\vec{AB} = \vec B-\vec A\]

\[\vec{AC}=\vec B-\vec A\]

\[\vec{AM}=\vec M-\vec A\]

Lembremos ainda as coordenadas do ponto médio dadas as coordenadas de seus extremos:

\[\vec M=\left(\dfrac{x_B+x_C}2,\dfrac{y_B+y_C}2,\dfrac{z_B+z_C}2\right)\]

Mas podemos reescrever como uma combinação linear dos dois extremos do segmento:

\[\vec M=\dfrac12\vec B+\dfrac12\vec C\]

De forma que:

\[\vec{AM}=\dfrac12\vec B+\dfrac12\vec C-\vec A\Rightarrow 2\vec{AM}=\vec B+\vec C-2\vec A\]

Vamos reagrupar esse resultado:

\[2\vec{AM}=(\vec B-\vec A)+(\vec C-\vec A)\]

Ou:

\[\boxed{2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}}\]

Como queríamos demonstrar.

DEVE SER IGUAL A 2+2=4, ACERTEI MISERAVIIIIIII