Alguém pode me ajudar nessas questões urgente?

Questão 19/20

Irei demonstrar duas formas de achar as equações. A primeira delas consiste na aplicação da fórmula:

                                                                                       \((x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)+\lambda(a,b,c)\)

• \((x,y,z)\) um ponto da reta, encontrado pela equação (logo, sempre sera \((x,y,z)\), nunca em forma de/ ou acompanhado por números);
• \((x_1,y_1,z_1) \) é um ponto que pertence a reta;
• \((a,b,c) \) o vetor que dá a direção da reta (vetor diretor);
• \(\lambda\) o parâmetro utilizado.(daí o nome, Equação Paramétrica). Em alguns livros (e na sua questão) vem em forma de t, mas é a mesma coisa.

Então, temos que a Equação Paramétrica da reta  \(r\)  que passa por  \(A=(5,7,-9)\)  e tem como direção  \(\vec{v}=(4,9,6)\)  é:

                                                                                        \(r:(x,y,z)=(5,7,-9)+\lambda(4,9,6)\) 

Se isolarmos cada variável, encontraremos as Equações Paramétricas:

                                                                                        \(r: (x,y,z)=(5,7,-9)+\lambda(4,9,6)\)

                                                                                 \(r:(x,y,z)=((5+4\lambda),( 7+9\lambda),(-9+6\lambda))\)

                                                                                                   \(r: \begin{cases} x=5+4\lambda \\ y=7+9\lambda \\ z=-9+6\lambda \\ \end{cases} \)

Portanto, a alternativa correta é a B.

Obs.: ponto dado pela questão \(A=(5,7,-9)\) está presente na equação (logo depois da igualdade) assim como o vetor diretor \(\vec{v}=(4,9,6)\), que agora multiplica \(\lambda\). Sempre será desta forma se você utlizar o mesmo ponto e vetor diretor do início ao fim das operações. Essa questão não precisaria da fórmula propiamente dita, somente deste conhecimento mas eu quis demonstrar caso futuramente seja necessário.

Questão 5/5

Seja a reta \(r\) dada por \(r:y=2x-14\), qual o ângulo \(\alpha\) (ou a, como na questão) que a reta \(r\) forma com a horizontal?

Ok, primeiro, retiramos informações:

A fórmula do angulo entre duas retas é dada por:  \(tg(\alpha)= \begin{vmatrix} \frac{m_s-m_r}{1+m_s.m_r} \end{vmatrix}\\\) em que: 

\(m_s\) é o coeficiente da reta \(r\), isto é, o termo que acompanha x. O termo que acompnha x em \(r\) é 2. Nosso \(m_s=2\)

\(m_r\) é o coeficiente da horizontal. Ora, se a outra reta é a horizontal (como descrito no enunciado da questão),a reta é o própio eixo x. Se fosse vertical, seria o eixo y. Temos então que o \(m_s\) do eixo x é 0. Se diferente de 0, não seria mais uma horizontal. Eu montei dois exemplos: quando o \(m_r\) é 0 e quando é 2 (no gráfico está como mx)

Portanto, \(m_r=0\)

Tudo pronto, vamos a fórmula:

\(tg(\alpha)=\begin{vmatrix} \frac{m_s-m_r}{1+m_s.m_r} \end{vmatrix}\\ tg(\alpha)= \begin{vmatrix} \frac{2-0}{1+2.0} \end{vmatrix}\\ tg(\alpha)=\begin{vmatrix} \frac{2}{1} \end{vmatrix}\\ tg(\alpha)=\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}\\ tg(\alpha)=2\\ \alpha=\frac{2}{tg}\\ \alpha=tg^{-1}(2)\\ \alpha\approx63,43494882\)

Logo, a alternativa correta é a A

\[P(t)=P_0+\vec vt\]

Substituindo nossos dados, temos:

\[P(t)=A+\vec vt\]

\[P(t)=(5,7,-9)+(4,9,6)t\]

Reescrevendo:

\[P(t)=(5+4t,7+9t,-9+6t)\]

Reescrevendo:

\[\boxed{\begin{cases}x=5+4t\\y=7+9t\\z=-9+6t\end{cases}}\]

O que nos leva à alternativa B.

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Para o segundo exercício, temos a seguinte equação da reta:

\[y=2x-14\]

Na equação reduzida da reta, como é o caso, o coeficiente angular nos dá a tangente do ângulo procurado:

\[\tan\theta=2\Rightarrow \theta=\arctan2\]

Finalmente:

\[\boxed{\theta\approx63,43^o}\]

O que nos leva à alternativa A.