Determine a solução da equação linear y' - (2y/x) = x3.

Do jeito que está esqcrita a equação não tem sta entre as alternativas, pois da ria y(x)=(x^4/2)+Cx^2. mais informações entrara em contato. 81 9 9701 1759.

Primeiro vamos encontrar a solução \(y_h\) da EDO homogênea associada \(y'-2\dfrac yx=0\), ou então, \(\dfrac{dy}{dx}=2\dfrac yx \Rightarrow \dfrac{dy}{y}=2\dfrac {dx}x\). Integrando, teremos \(\begin{equation} \int \dfrac{1}{y} dy=2\int\dfrac 1x dx \Rightarrow \ln y=2\ln x+C \Rightarrow y=e^{2\ln x+C}=e^C\cdot(e^{\ln x})^2=Cx^2 \end{equation}\). Assim, \(y_h=C_1x^2\) é uma solução da equação homogênea para todo \(C_1 \in \R\).

Agora, vamos fazer \(y(x)=\mu(x)y_h(x)\) na EDO não-homogênea. Assim, \(y=C_1\mu(x)x^2\)e \(y'=C_1\mu'(x)x^2+2C_1\mu(x)x\) e temos \(C_1\mu'(x)x^2+2C_1\mu(x)x-2C_1\mu(x)\dfrac{x^2}x=x^3\Rightarrow C_1\mu'(x)x^2=x^3\).

Portanto, a função desconhecida \(\mu(x)\) será dada por \(\dfrac{d\mu}{dx}=\dfrac x{C_1}\Rightarrow \mu=\int \dfrac{x}{C_1}dx=\dfrac{x^2}{2C_1}+C_2\).

A solução da nossa EDO será então \(y=\mu(x) y_h(x)=\left(\dfrac{x^2}{2C_1}+C_2\right)(C_1x^2)=\dfrac{x^4}2+C_3x^2\).

Portanto, \(\boxed{y=\dfrac{x^4}{2}+Cx^2}\).