O momento torção é geralmente aplicado em eixos circulares e tubos.

Neste item ser˜ao estudas das tens˜oes e deforma¸c˜oes em barras sujeitas `a tor¸c˜ao. O estudo a realizado envolve: • Barras sujeitas `a Tor¸c˜ao Pura: Somente o efeito do momento torsor (torque), sendo os demais esfor¸cos simples nulos. • Barras de eixo reto e se¸c˜ao transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular) conforme figura 3.27. Barras com estas caracter´ısticas s˜ao comumente denominadas de eixos




































































































































































































































































































































































D = 2R d = 2r D = 2R Figura 3.27: Se¸c˜ao circular e anular • Eixos sujeitos `a momento torsor constante conforme figura 3.28. = T T A B T + DMT A B A B T Figura 3.28: Eixo sujeito `a torsor constante • Pequenas deforma¸c˜oes: as se¸c˜oes permanecem planas e perpendiculares ao eixo, com forma e dimens˜oes conservadas. As deforma¸c˜oes s˜ao deslocamentos angulares (ˆangulos de tor¸c˜ao), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma se¸c˜ao em rela¸c˜ao a outra. O momento torsor, conforme estudado no item 3, est´a associado `as tens˜oes cisalhantes τxy e τxz. A equa¸c˜ao 3.16, que confirma esta afirma¸c˜ao, ´e reescrita abaixo para facilitar o trabalho do leitor. T = Z A (zτxy − yτxz) dA (3.34) Analisando τxz τxy z y τ φ ρ φ z y Figura 3.29: Tens˜oes cisalhantes na tor¸c˜ao Substituindo as equa¸c˜oes 3.35 a 3.39 na equa¸c˜ao 3.34 tem-se: T = Z A (ρ cos φτ cos φ + ρ sin φτ sin φ) dA T = Z A ρτ (cos2 φ + sin2 φ) dA T = Z A ρτ dA (3.40) A equa¸c˜ao 3.40 pode ser compreendida como a equa¸c˜ao 3.34 em coordenadas polares. Assim, as coordenadas que definem a posi¸c˜ao do ponto gen´erico P podem ser escritas como ρ e φ. O pr´oximo passo desta an´alise ´e definir uma rela¸c˜ao entre τ e a coordenada (ρ, φ) do ponto gen´erico P, ou simplesmente: τ = τ (ρ, φ). 3.2.2 An´alise de Tens˜oes e deforma¸c˜oes na tor¸c˜ao Sejam: • γ a distor¸c˜ao angular do “retˆangulo” abcd, contido em uma superf´ıcie cil´ındrica de raio ρ e comprimento dx conforme figura 3.30. • dθ o deslocamento angular (ˆangulo de tor¸c˜ao) elementar da se¸c˜ao Sd em rela¸c˜ao `a se¸c˜ao Se conforme figura 3.30. Da figura 3.30 pode-se escrever: bb0 = ρdθ (3.41) bb0 = γdx (3.42) Igualando as equa¸c˜oes 3.41 e 3.42 tem-se: γ = ρ dθ dx (3.43) Da Lei de Hooke tem-se: 56



















dθ dθ 2 L A B Se Sd d a b c ρ 2ρ dx b d a Se Sd γ γ c’ x dx b’ c Figura 3.30: An´alise das deforma¸c˜oes na tor¸c˜ao τ = Gγ (3.44) lembrando que G ´e o m´odulo de elasticidade transversal. Substituindo o valor de γ da equa¸c˜ao 3.43 na equa¸c˜ao 3.44 tem-se: τ = ρ Gdθ dx (3.45) Como θ varia linearmente com x (ver figura 3.30), sua derivada com rela¸c˜ao a x ´e constante e pode-se dizer que: G dθ dx = constante = K (3.46) Pode-se concluir ent˜ao que τ ´e fun¸c˜ao somente de ρ, n˜ao ´e fun¸c˜ao de φ (τ = Kρ), portanto constante em pontos de mesmo ρ ( 0 ≤ ρ ≤ R ), para qualquer φ ( 0 ≤ φ ≤ 2π ) . A varia¸c˜ao de τ com ρ ´e linear, conforme mostra a figura 3.31. ρ o T T τmax Figura 3.31: Varia¸c˜ao da tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao de ρ Para calcular a constante K basta substituir τ = Kρ na equa¸c˜ao 3.40: T = Z A ρτ dA = Z A ρKρ dA = (K Z A ρ 2 dA | {z } Momento de in´ercia polar: Io ) = K.I0 (3.47) Logo: K = T Io (3.48) e: τ = A tens˜ao cisalhante τmax m´axima se d´a ρ = R: τmax = T Io R (3.50) A raz˜ao entre Io e R (Wo) ´e chamada de m´odulo de resistˆencia `a tor¸c˜ao. Ent˜ao: τmax = T Wo (3.51) Da Mecˆanica Geral, o valor de Io para uma se¸c˜ao circular ´e: Io = π 32 D 4 (sec,˜ao circular) (3.52) e para se¸c˜ao anular, sendo D o diˆametro de eixo temos: Io = π 32 (D 4 e − D 4 i ) = π 32 D 4 e (1 − n 4 )(sec,˜ao anular) (3.53) para anular sendo De o diˆametro externo, Di o diˆametro interno do eixo e n = Di/De Substituindo os valores de R = D/2 (se¸c˜ao circular), R = De/2(se¸c˜ao anular) e de Io das equa¸c˜oes 3.52 e 3.53, pode-se chegar facilmente a: τmax = 16T πD3 (sec,˜ao circular) (3.54) τmax = 16T πD3 ( 1 1 − n4 ) (sec,˜ao anular) (3.55) 3.2.3 C´alculo do ˆangulo de tor¸c˜ao O ˆangulo de tor¸c˜ao (rota¸c˜ao relativa) entre duas se¸c˜oes distantes de L unidades de comprimento ´e: θ = Z L 0 dθ = Z L 0 γ ρ dx | {z } ver eq. 3.43 = Z L 0 Lei de Hooke z}|{ τ G 1 ρ dx (3.56) Substituindo o valor de τ (equa¸c˜ao 3.49) a equa¸c˜ao 3.56 pode ser reescrita como: θ = Z L 0 T Io ρ |{z} eq.3.49 1 G ρ dx θ = T L G Io (3.57)

No problema me questão, primeiramente calcula-se o momento de inércia polar:

\[\eqalign{ & J = \dfrac{{\pi \cdot {{\left( {0,050 - 0,035} \right)}^4}}}{{32}} \cr & = 4,97 \cdot {10^{ - 9}}{\text{ }}{{\text{m}}^4} }\]

Por fim, calcula-se as tensões na borda interna e na borda externa, respectivamente:

\[\eqalign{ & {\tau _1} = \dfrac{{\left( {100{\text{ N}} \cdot {\text{m}}} \right) \cdot 0,035{\text{ }}{\text{m}}}}{{4,97 \cdot {{10}^{ - 9}}{\text{ }}{{\text{m}}^4}}} \cr & = 704,22{\text{ MPa}} \cr & \cr & {\tau _2} = \dfrac{{\left( {100{\text{ N}} \cdot {\text{m}}} \right) \cdot 0,050{\text{ }}{\text{m}}}}{{4,97 \cdot {{10}^{ - 9}}{\text{ }}{{\text{m}}^4}}} \cr & = 1.006,03{\text{ MPa}} }\]