O juiz pode conceder na sentença algo que não foi postulado pelas partes?

Não. 
Há duas hipóteses de sentença que extrapola os limites postulados: a ultra petita e a extra petita. 

A sentença ultra petita é aquela em que o juiz excede o que foi realmente requerido pela parte. 

Ex.: pediu danos morais, o juiz incluiu danos materiais. 

Já a sentença extra petita é aquela em que o juiz determina coisas totalmente estranhas ao processo/ao requerido pelas partes.

Ex.: o juiz decidiu por argumento de defesa não suscitado pelo réu, desde que não seja matéria ex officio.

Neste caso, a sentença ultra petita pode ser corrigida pelo Tribunal, reduzindo-se aos limites do que foi pleiteado, e a extra petita anulada naquilo que foi estranho ao processo. 

Em regra, não. Lembramos que a jurisdição é inerte e não pode agir de ofício, mas somente quando provocada (art. 2º, do CPC: "o processo começa por iniciativa da parte e se desenvolve por impulso oficial, salvo as exceções previstas em lei.").

Quando o juiz julga diversamente do que foi pleiteado, poderá incorrer na prolação dos seguintes tipos de sentenças:

1. Sentença ultra petita: juiz concede mais do que a parte havia requerido (e.g. parte pede indenização por danos morais de R$ 10 mil e o juiz determina indenização no valor de R$ 50 mil).
2. Sentença extra petita: juiz concede pedido diverso do que a parte havia requerido (e.g. parte pede indenização por danos materiais, apenas, e o juiz concede danos materiais e danos morais).
3. Sentença citra petita: juiz não avalia todos os pedidos requeridos pela parte, ainda que para indeferir.

Contudo, existem exceções, como a restauração de autos, em caso de perda, a determinação da obrigação de retirar o nome da parte do cadastro de inadimplentes, quando ação pede indenização por danos morais fulcrada na negativação indevida, a fixação de honorários sucumbenciais, bem como o pagamento de parcelas vincendas em débitos de prestação periódica, por exemplo.