O juiz pode dar além do que foi pedido pelas partes?

Não. O Juiz, poderá dar somente o que foi pedido, nada além, nada a menos, e nada fora do pedido realizado. Se pede-se "vermelho", o Juiz tem que dar "vermelho"; se o Juiz não tiver, ou não puder dar o "vermelho", tem que ver algo que se assemelhe com o "vermelho" ou algo mais próximo dele. 

Sentença Ultra Petita: sentença além do pedido, ou seja, concede algo a mais do que foi pedido.
Sentença Extra Petita: sentença fora do pedido, concede algo fora do pedido formulado.
Sentença Citra Petita: sentença inferior ao pedido, dá-se algo a menos do que foi pedido.

No caso da reportagem, o qual o pedido inicial foi de 6.000, teria que ver, se foi o valor da causa, o qual toda ação tem uma valor, ou se foi o que o Autor pediu. 

Então, o valor pedido pela parte na inicial foi de 6.000,00 por danos morais. Após consultar o acessor, o mesmo me respondeu que o Juiz não pode dar além ou a mais do que foi pedio, pode sim sentenciar um valor menor que o pedido inicial, entretento, maior não, sendo assim, a parte que ficou sentenciada a pagar o valor estipulado pelo Juiz irá recorrer quanto ao valor sentenciado por danos morais para que seja aaquele pedido pelas partes e não que foi sentenciado a mais pelo Juiz.

Não pode, embora conforme jurisprudência pacificada do STJ, é possível fazer pedido genérico em ação de danos morais(não informando o valor pretendido).