qual a soma dos cem primeiros números naturais ?

Se vc parar p reparar, Se a gente pegar uma sequência menor, p somar todos os números.

Suponhamos de 1 a 10. 
De 1 a 10 a soma resulta em 
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Veja bem
1+10=11
2+9=11
3+8=11
...
A soma dos pares de números da extremidade tem resultados iguais...

De 1 a 10 temos 5 pares de números, ou seja, 10/2 pares de números Que somados resultam sempre em 11...

Matematicamente falando, temos:

5x11=55

Agora, façamos de 1 a 100...

De 1 a 100 temos 100/2 pares de números... Ou seja, 50 pares.

A soma das extremidades resultam em 101, veja:

1+100=101
2+99=101
3+98=101
(...)

Agora é só multiplicarmos...50 pares de números Que resultam em 101... fica assim:

50*101=5050

\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots\}\]

Então somar os 100 primeiros números naturais significa somar os números inteiros de 0 a 99. Lembremos agora da definição de progressão aritmética (PA): sequência em que cada termo é dado pelo anterior acrescido de um valor constante, denotado por razão (\(r\)). Para a soma de uma PA, temos a seguinte fórmula:

\[S=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n\]

Para os nossos dados:

\[S=\dfrac{0+99}2\cdot 100=99\cdot50\]

Logo temos a soma:

\[\boxed{S=4950}\]