Operações com números naturais potenciação

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º Ano
Operações com números naturais: 
potenciação
	Um dos objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do Ensino Fundamental, visando ao desenvolvimento do pensamento numérico por meio da exploração de situações de aprendizagem, é “resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação”(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, 1998, página 64).
CONCEITOS E PROCEDIMENTOS
-Compreensão da potência com expoente inteiro positivo como produto reiterado de fatores iguais, identificando e fazendo uso das propriedades da potenciação em situações-problema.
- Atribuição de significado à potência de expoente nulo e negativo pela observação de regularidades e pela extensão das propriedades das potências com expoente positivo.(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 72,1998)
O que se espera do educando durante o desenvolvimento do conceito de potência no 
6º Ano do Ensino Fundamental :
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
LEIA O TEXTO COM MUITA ATENÇÃO E TENTE SOLUCIONAR OS PROBLEMAS PROPOSTOS
	O professor de Matemática convidou seus alunos a participarem de um jogo composto por 3 fases, e cada uma possui um problema a ser solucionado:
1ª FASE: 
	Dois amigos, Petrúcio e Pedro, estão doentes e foram ao médico, que prescreveu a seguinte medicação: Petrúcio precisa tomar dois comprimidos durante seis dias, e Pedro, três comprimidos durante três dias. Quantos comprimidos cada um deve tomar?
Problema inspirado em um problema dos PCN, Ensino Fundamental, Matemática, Página 109.
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SOLUÇÃO
 PETRÚCIO: 
2 COMPRIMIDOS DURANTE 6 DIAS 
 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 
 ou 
 6 X 2 = 12 
 ou 
 6 . 2 = 12
PEDRO: 
3 COMPRIMIDOS DURANTE 3 DIAS 
	3 + 3 + 3 = 9 
 ou 
 3 X 3 = 9 ou 3 . 3 =9
Observação: 
1- No contexto do problema que foi apresentado, apenas a escrita 6 x 2 traduz o problema, embora 2 x 6 = 6 x 2.
2-Essa atividade é uma boa oportunidade para se refletir sobre a seguinte pergunta: Por que os médicos utilizam em suas prescrições de medicamentos intervalos de hora do tipo: de 4 em 4 horas, 6 em 6 horas, 8 em 8 horas, 12 em 12 horas?
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Operações com números naturais: potenciação
RESPOSTA: Petrúcio deve tomar 12 comprimidos, e Pedro, 9.
2ªFASE: 
	Para se preparar para os jogos escolares, Robério precisa melhorar seu condicionamento físico, por isso pediu ajuda a Issac, seu professor de Educação Física. Este lhe recomendou um programa de condicionamento físico que é iniciado com uma caminhada, durante 5 semanas, na pista do campo de futebol próximo à casa de Robério, de modo que o número de voltas deve dobrar a cada semana.
Quantas voltas Robério dará na 5ª semana?
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Operações com números naturais: potenciação
Observação: 
As atividades fí-sicas devem ser orientadas por um profissional da área de Edu-cação Física, que determina-rá a frequência e a intensidade dos exercícios .
PERÍODO
NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ªsemana
2
2ªsemana
2.2 = 4
3ªsemana
2.2.2 = 8
4ªsemana
2.2.2.2 = 16
5ªsemana
?
SOLUÇÃO
Continuando o raciocínio da tabelas, temos:
5ª semana = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
Portanto, na 5ª semana, Robério dará 32 voltas.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
PERÍODO
NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ªsemana
2
2ªsemana
2.2 = 4
3ªsemana
2.2.2 = 8
4ªsemana
2.2.2.2 = 16
3ª FASE: 
	
	Kleison é um estudante muito aplicado e sempre faz suas tarefas de casa. Ele gosta bastante das tarefas relacionadas às operações matemáticas. Seu professor de Matemática, sabendo disso, chamou-o para resolver, no quadro da sala de aula, as seguintes operações:
10.10.10.10 = 
2.3.4.5 =
Quais foram os resultados encontrados por Kleison?
(A) 40 e 14 respectivamente
(B) 100 e 29 respectivamente
(C) 10000 e 120 respectivamente
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SOLUÇÃO
Para resolver esse problema, Kleison realizou as multiplicações da seguinte forma:
 10 . 10 . 10 . 10 =
 = 100 . 10 . 10 =
 = 1000 . 10 =
 10000
2 . 3 . 4 . 5 =
= 6 . 4 . 5 =
= 24 . 5 =
= 120
Resposta: 10000 e 120. Letra c.
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Ao término do desafio, o professor apresentou aos estudantes um quadro com as multiplicações que apareceram durante a solução de cada uma das 3 fases.
1ªFASE: 6 . 2 e 3 . 3 
2ªFASE: 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3ªFASE: 10. 10. 10 .10
 e
 2 . 3 . 4 . 5
Em seguida, fez o seguinte questionamento:
- Poderíamos separar essas operações em dois grupos? O que seria levado em consideração nessa separação?
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Operações com números naturais: potenciação
 Parabéns! Observa-se que o 1º grupo é formado por multiplicações com fatores diferentes, e o 2º grupo é formado por MULTIPLICAÇÕES DE FATORES IGUAIS.
1º GRUPO
 6 . 2
 2 . 3 . 4 . 5
2º GRUPO
 3 . 3
 2 . 2 . 2 . 2 . 2
10.10.10.10
Após o debate, tem-se:
9
 Em seguida, o professor lançou mais um desafio:
 - Vamos criar uma maneira mais sucinta, ou seja, simples , de representar as multiplicações apresentadas no 2º grupo?
- Para iniciar, disse o professor com intenção de ajudar os alunos nesse desafio, vou fazer algumas observações.
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Operações com números naturais: potenciação
- No segundo grupo, está acontecendo uma coisa muito especial, diz o professor. Em cada multiplicação, TODOS OS FATORES SÃO IGUAIS.
Cada multiplicação está baseada em um único número, ou seja, tem como BASE apenas um número.
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Exemplo: 3 . 3 ( tem como BASE o número 3)
 	 2 . 2 . 2 . 2 ( tem como BASE o número 2)
 10.10.10.10.10 ( tem como BASE o número 10)
Exemplo: 
	 3 . 3 Expõe dois fatores
 2 . 2 . 2 . 2 . 2 Expõe cinco fatores
 10.10.10.10 Expõe quatro fatores
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Cada multiplicação nos EXPÕE uma certa quantidade de fatores.
Em seguida, o professor analisou:
Se tem como BASE o número 3, 
 3 . 3
 nos EXPÕE dois fatores.
 Se tem como BASE o número 2,
 
2 . 2 . 2 . 2 . 2
 
 nos EXPÕE cinco fatores.
Se tem como BASE o número 10,
10.10.10.10
nos EXPÕE quatro fatores.
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- Então, diz o professor, podemos representar essas multiplicações assim:
 3 . 3 = 3²
 3 é o número BASE dessa multiplicação, e o 2, a quantidade de fatores que ela nos EXPÕE.
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
O número 2 é a BASE dessa multiplicação, e o número 5 é a quantidade de fatores EXPOSTO por essa operação
 10.10.10.10= 10
 10 é a BASE e 4, o EXPOENTE.
5
4
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	Seguindo, o professor questiona: - Quem pode dar outros exemplos aqui no quadro? Qual a quantidade mínima de fatores? E a máxima?
Nota: Preparando para generalizar a ideia .
7.7.7 = 7³
5.5.5.5 = 5
12.12.12.12.12 = 12
5
MAIS EXEMPLOS:
0.0 = 0²
1.1.1.1.1.1 = 1
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Operações com números naturais: potenciação
4
6
O professor conclui:
 - Essa multiplicação de fatores iguais é uma operação matemática que recebe o nome de POTENCIAÇÃO. O símbolo que representa essa multiplicação é denominado POTÊNCIA.
 EXPOENTE
5²BASE 
EXEMPLO: 
5 . 5 = 5² = 25
POTENCIAÇÃO 
RESULTADO ou
POTÊNCIA DE 5
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Operações com números naturais: potenciação
Pesquisa na Internet: Qual(is) o(s) matemático(s) responsável (is)pela criação da potência?
Sugestão de sites:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos_pt.htm
Nota: Consultar no dicionário o significado da palavra potência.
POTÊNCIA 
LEITURA DAS POTÊNCIAS
3 Lê-se: Três elevado à segunda potência.
 Lê-se: Dois elevado à quinta potência.
10 Lê-se: Dez elevado à quarta potência.
7 Lê-se: Sete elevado à décima potência.
5
4
Agora é sua vez, leia as potências:
 5² 10 20³ 18
 0 8 4 34
10
12
13 
 6
20
7
- Agora surgiu uma dúvida, diz o professor, como essas potências são lidas?
18
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Operações com números naturais: potenciação
2
8
 Vamos agora escrever uma potência de um modo mais amplo, generalizado, isto é, vamos defini-la.
Considerando p e n números naturais, sendo n maior que 1, temos: 
p é o produto de n fatores iguais a p.
n
p = p . p . p . p . ... . p 
n vezes
Lê-se: p elevado a n
n
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Operações com números naturais: potenciação
	O estudante Antônio Luiz, pedindo licença, indagou: - Professor, o que acontece se o expoente for 0 ou 1?
O professor respondeu: - Antônio Luiz, para saber o que acontece quando o expoente é 0 ou 1, observe ATENTAMENTE a tabela a seguir e tente completar as células vazias com o auxílio de seus colegas.
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Operações com números naturais: potenciação
POTÊNCIA
RESULTADO
2
16
2
8
2
4
2
?
2
?
4
3
2
1
0
POTÊNCIA
RESULTADO
3
81
3
27
3
9
3
?
3
?
De acordo com o que observamos nas tabelas, podemos concluir que:
4
3
2
1
0
16 dividido por 2 = 8
8 dividido por 2 = 4
2
1
Dividido por 3 
Dividido por 3 
3
1
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Operações com números naturais: potenciação
Toda potência com base diferente de zero e expoente zero é igual a 1.
Exemplos: 2°=1 3°=1 4°=1 8°=1
Toda potência de expoente 1 é igual à própria base.
Exemplos: 2¹=2 5¹=5 14¹=14 0¹=0
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Operações com números naturais: potenciação
De um modo geral, para todo número natural p diferente de zero (p ǂ 0) e n menor que 2 (n < 2), temos:
p¹ = p 
p° = 1 
OBSERVAÇÃO:
0° = INDETERMINAÇÃO
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Operações com números naturais: potenciação
Leia mais sobre indeterminação no endereço eletrônico:
pt.wikipedia.org
Sugestão para revisão: assista aos 9 primeiros minutos do Novo telecurso 2000, Ensino fundamental, Matemática, Aula 53. 
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Operações com números naturais: potenciação
O professor segue apresentando POTÊNCIAS ESPECIAIS.
Há potências que podem ser representadas por uma figura.
Exemplos:
Por estar associada a essas figuras ao lado, as potências de expoente 2 e de expoente 3 são lidas de uma forma diferente, especial:
3² Lê-se: Três elevado ao quadrado ou quadrado de 3.
5³ Lê-se: Cinco elevado ao cubo ou cubo de 5.
DICA DE AULA AO AR LIVRE
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Operações com números naturais: potenciação
	Como atividade complementar, pode ser desenvolvida uma situação-problema ao ar livre, a qual consiste em medir os lados de quadrados de tamanhos variados formados no chão com fita crepe e, em seguida, calcular suas respectivas áreas. Nessa atividade, os alunos devem perceber que todas as áreas das figuras podem ser escritas por uma potência cuja base é igual à medida do lado do quadrado e, na sequência, devem generalizar essa ideia, escrevendo a fórmula da área de um quadrado. 
	Em seguida, farão uma atividade que consiste em formar quadrados com grãos (sementes) separados com a mesma distância (malha pontilhada), para que entendam porque os resultados das potências que representam as áreas dos quadrados são chamados de “quadrados perfeitos” e também porque a potência de expoente 2 pode ser lida de forma diferente, especial (elevado ao quadrado).
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
DICA DE AULA EM LABORATÓRIO
	Com os blocos de cubos, os alunos devem construir cubos partindo de um único cubinho, que será tomado como unidade de volume, e assim observar os volumes, ao construírem cubos com oito cubinhos e 27 cubinhos. Nessa atividade, os alunos devem perceber que todos os volumes das figuras espaciais podem ser escritos por uma potência cuja base é igual à medida da aresta do cubo. Em seguida, devem generalizar essa ideia, escrevendo a fórmula de volume de um cubo e percebendo, assim, porque os resultados das potências que representam os volumes dos cubos são chamados de “cubos perfeitos” e também porque a potência de expoente 3 pode ser lida de forma diferente, especial (elevado ao cubo).
 Exemplo de aplicabilidade de potência na Informática.
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Operações com números naturais: potenciação
Nota: Utilizar calculadora simples ou de celular, para verificar alguns desses números (os de expoente menores ou iguais a 7).
As potências são muito utilizadas para representar números grandes:
1.000.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10.10 = 10
 100.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 10
 10.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10
 1.000.000 = 10.10.10.10.10.10 = 10
 100.000 = 10.10.10.10.10 = 10
 10.000 = 10.10.10.10 = 10
9
8
7
6
5
Observe que o número de zeros determina o valor do expoente:
1.000.000.000.000 = 10
12
12 zeros
Lê-se: Um trilhão
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Operações com números naturais: potenciação
Nota: Pesquisar: 
a)em revistas, jornais, etc, outras configurações de computadores e fazer um debate: qual o melhor computador a ser comprado? O que influencia o preço? Etc.
b)Como é medida a polegada no monitor?
c)O que é configuração de um computador?
	O computador é bastante utilizado para armazenamento e processamento de informações de maneira precisa e rápida e tem como unidade de medida de informação o byte (lê-se: baite).
 Kb = 1.000 bytes
Mb = 1.000.000 bytes
 Gb = 1.000.000.000 bytes
 VEJA ALGUNS MÚLIPLOS DO BYTE:
Processador de 2 GHz, memória de 128Mb, HD de 120 Gb, monitor de 18”, placa de vídeo de 8Mb.
Observe uma configuração básica de um computador:
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Operações com números naturais: potenciação
Passando para forma de potência, temos:
Agora, vamos ler:
MEDIDA
LÊ-SE
2 GHz
Doisgigahertzou dois bilhões de hertz.
120 GB
Cento e vinte gigabytes ou cento e vinte bilhões de bytes.
128 MB
Cento e vinte e oito megabytes ou cento e vinte e oito milhões de bytes.
8 MB
Oito megabytes ou oito milhõesde bytes.
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Operações com números naturais: potenciação
Para agilizar cálculos com potências, utilizamos algumas propriedades da potenciação.
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE:
2³ . 2 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
4
7
Outro modo:
2³ . 2 = 2 = 2
4
3+4
7
3 fatores
4 fatores
Observe que, para multiplicar potências de bases iguais, conservamos a base e somamos os expoentes.
Outro exemplo: 5² . 5³ . 5 = 5 = 5 
(2+3+1)
6
Atenção! 
5 = 5
4 = 4 
1
1
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Operações com números naturais: potenciação
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Observe que, para dividir potências de bases iguais, não-nulas, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Outro exemplo: 5³ : 5 = 5 = 5² 
2 : 2 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 . 2 . 2 = 2
 2 . 2
 
5
2
5 fatores
2 fatores
3
(3-1)
Outro modo:
2 : 2² = 2 = 2³
5
(5-2)
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Operações com números naturais: potenciação
POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA
OUTRO MODO:
(3³)² = 3 = 3
3 . 2
6
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Outro exemplo: [(5³)²] = 5 = 5
3 . 2. 5
5
30
3 + 3
3
6
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operaçõescom números naturais: potenciação
POTÊNCIA DE UMA PRODUTO:
(2 . 5)³ =
(2 . 5) .
(2 . 5) .
(2 . 5) =
= (2 . 2 . 2) .
(5 . 5 . 5) =
 2³ 
Para elevar um produto a um expoente, basta elevarmos cada um dos fatores do produto a esse expoente.
3 fatores
3 fatores
 . 5³ 
Aplicando a propriedade comutativa da multiplicação, temos:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : MEC /SEF, 1998.148 p.1.
-Projeto Araribá, Matemática/obra coletiva, Editora responsável: Juliane Matsubara, São Paulo, Moderna, 2006.
-Logen, Adilson, Matemática em movimento, 5ª série, São Paulo, Editora do Brasil, 1999.
-www.somatematica.com.br
-Novo telecurso, ensino fundamental, Matemática, aula 09( Propriedades da multiplicação).
-http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos_pt.htm
-http://tvescola.mec.gov.br/
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