Demonstre a formula do volume do cilindro de altura h e raio de base R utilizando integrais triplas e coordenadas cilindricas.

Tambem quero saber

\[\begin{align} V &=\iiint\partial V \\ &=\iiint\partial x \,\partial y\, \partial z \\ \end{align}\]

Em coordenadas cilíndricas, tem-se as coordenadas \(\rho=\sqrt{x^2+ y^2}\), \(\theta=\arctan {y \over x}\) e \(z=z\). Com isso, a integral tripla fica da seguinte forma:

\[\begin{align} V &= \iiint \rho\, \partial \rho\, \partial \theta \,\partial z \\ \end{align}\]

Para um cilindro de raio \(R\) e altura \(h,\) tem-se os seguintes intervalos:

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} 0 &\le \rho \le R \\ 0 &\le \theta \le 2\pi \\ 0 &\le z \le h \end{align} \end{matrix} \right.\]

Portanto, o valor de \(V\) é:

\[\begin{align} V &= \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R \rho\, \partial \rho\, \partial \theta \,\partial z \\ &= \int_0^h \partial z\int_0^{2\pi}\partial \theta \int_0^R \rho\, \partial \rho \\ &= z\bigg|_0^h \cdot\theta\bigg|_0^{2\pi} \cdot {\rho^2 \over 2}\bigg|_0^R \\ &= h \cdot 2\pi \cdot {R^2 \over 2} \\ &= \pi R^2 h \end{align}\]

Concluindo, através de integrais triplas e coordenadas cilíndricas, a fórmula do volume do cilindro de raio \(R\) e altura \(h\) é \(\boxed{V=\pi R^2h}\).