Calcule. a)∫ sen² x cos x dx b)∫ sen² x cos³ x dx c)∫ cos³ x sen³ x dx d) ∫ sen x √cos x dx e)∫ sen 2x √1 + cos² x dx f)∫ sen 2x √5+sen² x dx

5

Vamos começar realizando a substituição \(u = \sin x\). Dessa forma, derivando ambos os membros teremos \(du = \cos xdx\).

Realizando essas substituições na integral, onde \(C\) é uma constante arbitrária:

\[\eqalign{ \int {{{\sin }^2}x\cos xdx} &= \int {{u^2}du}\cr&= \dfrac{{{u^3}}}{3} + C }\]

Voltando para a variável \(x\), podemos escrever que \(\int {{{\sin }^2}x\cos xdx} = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C\).

Portanto, \(\boxed{\int {{{\sin }^2}x\cos xdx} = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C}\).

b)

Da trigonometria, sabemos que a relação \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) é verdadeira. Assim, podemos expressar \({{{\cos }^3}x}\) da seguinte forma:

\[\eqalign{ {\cos ^3}x &= {\cos ^2}x\cos x\cr&= \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x }\]

Desta forma, a integral fica \(\int {{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx}\). Fazendo \(u = \sin x\), derivando ambos os membros, teremos \(du = \cos xdx\). Logo, realizando essas substituições na integral anterior:

\[\eqalign{ \int {{u^2}\left( {1 - {u^2}} \right)du} &= \int {\left( {{u^2} - {u^4}} \right)du}\cr&= \dfrac{{{u^3}}}{3} - \dfrac{{{u^5}}}{5} + C\cr&= \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \dfrac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C }\]

Portanto, \(\boxed{\int {{u^2}\left( {1 - {u^2}} \right)du} = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \dfrac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C}\).

c)

Para a integral deste item, vamos fazer uso da seguinte fórmula:

\[\int {{{\cos }^m}\left( x \right){{\sin }^n}\left( x \right)dx} = - \dfrac{{{{\cos }^{m + 1}}\left( x \right){{\sin }^{n - 1}}\left( x \right)}}{{m + n}} + \dfrac{{n - 1}}{{m + n}}\int {{{\cos }^m}\left( x \right){{\sin }^{n - 2}}\left( x \right)dx}\]

Do enunciado, temos que \(m = n = 3\). Assim, substituindo na fórmula apresentada:

\[\int {{{\cos }^3}\left( x \right){{\sin }^3}\left( x \right)dx} = - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right){{\sin }^2}\left( x \right)}}{6} + \dfrac{2}{6}\int {{{\cos }^3}\left( x \right)\sin \left( x \right)dx} {\text{ }}......\left( {\text{I}} \right)\]

Agora, precisamos calcular a integral \(\int {{{\cos }^3}\left( x \right)\sin \left( x \right)dx}\). Fazendo a substituição \(u = \cos x\), teremos \(du = - \sin xdx\):

\[\eqalign{ \int {{u^3}\left( { - du} \right)} &= - \dfrac{{{u^4}}}{4} + C\cr&= - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right)}}{4} + C }\]

Substituindo a expressão encontrada em \(\left( {\text{I}} \right)\), temos:

\[\eqalign{ \int {{{\cos }^3}\left( x \right){{\sin }^3}\left( x \right)dx} &= - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right){{\sin }^2}\left( x \right)}}{6} + \dfrac{2}{6}\left( { - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right)}}{4} + C} \right)\cr&= - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right){{\sin }^2}\left( x \right)}}{6} - \dfrac{1}{{12}}{\cos ^4}\left( x \right) + \dfrac{C}{3}\cr&= - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right){{\sin }^2}\left( x \right)}}{6} - \dfrac{1}{{12}}{\cos ^4}\left( x \right) + {C_1} }\]

No resultado encontrado, \({C_1} = \dfrac{C}{3}\) é uma constante arbitrária já que \(C\) também é uma constante.

Portanto, \(\boxed{\int {{{\cos }^3}\left( x \right){{\sin }^3}\left( x \right)dx} = - \dfrac{{{{\cos }^4}\left( x \right){{\sin }^2}\left( x \right)}}{6} - \dfrac{1}{{12}}{{\cos }^4}\left( x \right) + {C_1}}\).

d)

Realizando a substituição \(u = \cos x\), teremos \(du = - \sin xdx\). Logo:

\[\eqalign{ \int {\sin x\sqrt {\cos x} dx} &= \int {\sin x\sqrt u \cdot \left( {\dfrac{{du}}{{ - \sin x}}} \right)}\cr&= - \int {\sqrt u du}\cr&= - \dfrac{2}{3}\sqrt {{u^3}} + C }\]

Voltando para a variável \(x\), podemos escrever que \(\int {\sin x\sqrt {\cos x} dx} = - \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\cos }^3}x} + C\).

Portanto, \(\boxed{\int {\sin x\sqrt {\cos x} dx} = - \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\cos }^3}x} + C}\).

e)

Realizando a substituição \(u = {\cos ^2}x\), teremos:

\[\eqalign{ du &= - 2\cos x\sin xdx\cr&= - \sin \left( {2x} \right)dx }\]

Assim, na integral, teremos:

\[\eqalign{ \int {\sin \left( {2x} \right)\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} dx} &= \int {\sin \left( {2x} \right)\sqrt {1 + u} \left( {\dfrac{{du}}{{ - \sin \left( {2x} \right)}}} \right)}\cr&= - \int {\sqrt {1 + u} du} }\]

Realizando outra substituição dada por \(w = 1 + u\), temos \(dw = du\). Assim, podemos escrever:

\[\eqalign{ - \int {\sqrt {1 + u} du} &= - \int {\sqrt w dw}\cr&= - \dfrac{2}{3}\sqrt {{w^3}} + C }\]

Voltando para a variável \(x\), temos:

\[\int {\sin \left( {2x} \right)\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} dx} = - \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)}^3}} + C\]

Portanto, \(\boxed{\int {\sin \left( {2x} \right)\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} dx} = - \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)}^3}} + C}\).

f)

Para essa integral, vamos utilizar a seguinte propriedade:

\[\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}\]

Fazendo uso da propriedade, temos:

\[\int {\left( {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right) + {{\sin }^2}x} \right)} dx = \int {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right)dx} + \int {{{\sin }^2}x} dx{\text{ }}......\left( {\text{I}} \right)\]

Para a primeira integral, vamos fazer \(u = 2x\sqrt 5\) e, consequentemente, \(du = 2\sqrt 5 dx\). Logo, obtemos:

\[\eqalign{ \int {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right)dx} &= \int {\sin u\dfrac{{du}}{{2\sqrt 5 }}}\cr&= \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\int {\sin udu}\cr&= - \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\cos u + C_1 }\]

Voltando para a variável \(x\), temos \(\int {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right)dx} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\cos \left( {2x\sqrt 5 } \right) + C\).

Para a segunda integral, vamos utilizar a identidade \({\sin ^2}x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x} \right)\). Assim, podemos escrever:

\[\eqalign{ \int {{{\sin }^2}xdx} &= \int {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x} \right)} \right)} dx\cr&= \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x} \right) + {C_2} }\]

Substituindo as expressões em \(\left( {\text{I}} \right)\), temos:

\[\int {\left( {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right) + {{\sin }^2}x} \right)} dx = - \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\cos \left( {2x\sqrt 5 } \right) + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x} \right) + C\]

No resultado anterior, \(C = {C_1} + {C_2}\) é uma constante arbitrária já que \({C_1}\) e \({C_2}\) são constantes.

Portanto, \(\boxed{\int {\left( {\sin \left( {2x\sqrt 5 } \right) + {{\sin }^2}x} \right)} dx = - \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\cos \left( {2x\sqrt 5 } \right) + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x} \right) + C}\).