Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados,20 consumiam os três

Vamos resolver esse problema através do Diagrama de Venn

Temos que 20 consumidores preferem os 3 produtos. Logo, na interseção temos o 20 

30 - 20 = 10 ficará na interseção de P1 e P2.
50 - 20 = 30 na interseção entre P2 e P3.
60 - 20 = 40 na interseção entre P1 e P3.

120 consumidores preferem o P1. Logo, 120 - 40 - 20 - 10 = 50 preferem apenas P1

Como 75 consumidores prederem o P2, então 75 - 10 - 20 - 30 = 15 preferem apenas P2.

a) Vamos chamar de x a quantidade de consumidores que preferem apenas o produto P3.

Logo, 200 - (50 + 40 + 20 + 10 + 30 + 15) = 200 -165 = 35 preferem apenas o P3.

b) Pelo menos dois quer dizer que consumiam 2 ou 3.

Logo, 20 + 40 + 10 + 30 = 100 consumidores.

c) Consumir P1 e P2 é a interseção. Portanto, 10 consumidores.

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1. \(x_1\): quantidade de pessoas que consomem exclusivamente o produto \(P_1\).
2. \(x_2\): quantidade de pessoas que consomem exclusivamente o produto \(P_2\).
3. \(x_3\): quantidade de pessoas que consomem exclusivamente o produto \(P_3\).
4. \(x_{1,2}\): quantidade de pessoas que consomem, simultaneamente, apenas os produtos \(P_1\) e \(P_2\).
5. \(x_{1,3}\): quantidade de pessoas que consomem, simultaneamente, apenas os produtos \(P_1\) e \(P_3\).
6. \(x_{2,3}\): quantidade de pessoas que consomem, simultaneamente, apenas os produtos \(P_2\) e \(P_3\).
7. \(x_{1,2,3}\): quantidade de pessoas que consomem, simultaneamente, os produtos \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\).

Ou seja, cada um dos \(200\) consumidores está incluído em _somente_ um desses grupos. Ou seja, tem-se a seguinte equação:

\[x_1+x_2+x_3+x_{1,2}+x_{1,3}+x_{2,3}+x_{1,2,3}=200 \,\,\,\, (I)\]

Agora, analisando o enunciado, tem-se as seguintes equações:

• “20 consumiam os três produtos”: \(x_{1,2,3}=20 \,\,\,\, (II)\).
• “30 [consumiam] os produtos P1 e P2”: \(x_{1,2}+x_{1,2,3}=30 \,\,\,\, (III)\).
• “50 [consumiam] os produtos P2 e P3”: \(x_{2,3}+x_{1,2,3}=50 \,\,\,\, (IV)\).
• “60 [consumiam] os produtos P1 e P3”: \(x_{1,3}+x_{1,2,3}=60 \,\,\,\, (V)\).
• “120 [consumiam] o produto P1”: \(x_1+x_{1,2}+x_{1,3}+x_{1,2,3}=120 \,\,\,\, (VI)\).
• “75 [consumiam] o produto P2”: \(x_2+x_{1,2}+x_{2,3}+x_{1,2,3}=75 \,\,\,\, (VII)\).

a)

Conhecendo \(x_{1,2,3}\) devido à equação \((II)\), os valores de \(x_{1,2}\), \(x_{2,3}\) e \(x_{1,3}\) das equações \((III)\), \((IV)\) e \((V)\) são, respectivamente:

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1,2}=10 \\ x_{2,3}=30 \\ x_{1,3}=40 \end{matrix} \right.\]

Com isso, pelas equações \((VI)\) e \((VII)\), os valores de \(x_1\) e \(x_2\) são, respectivamente:

\[\left\{ \begin{matrix} x_1+10+40+20=120 \\ x_2+10+30+20=75 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} x_1=50 \\ x_2=15 \end{matrix} \right.\]

Finalmente, pela equação \((I)\), o valor de \(x_3\) é:

\[\begin{align} 50+15+x_3+10+40+30+20&=200 \\ x_3 &=200-(50+15+10+40+30+20) \\ &=200-165 \\ &=35 \end{align}\]

Concluindo, a quantidade de pessoas que consumiam somente o produto \(P_3\) é igual a \(\boxed{x_3=35}\).

b)

Conhecendo os valores \(x_1=50\), \(x_2=15\) e \(x_3=35\), a quantidade \(q_1\) de pessoas que consumiam pelo menos dois dos produtos é igual a:

\[\begin{align} q_1&=200-(x_1+x_2+x_3) \\ &=200-(50+15+35) \\ &=200-100 \\ &=100 \end{align}\]

Concluindo, a quantidade de consumidores de pelo menos dois dos produtos é igual a \(\boxed{q_1=100}\).

c)

A quantidade \(q_2\) de pessoas que consumiam \(P_1\) e \(P_2\), e simultaneamente não consumiam \(P_3\), é:

\[\begin{align} q_2&=x_1+x_2+x_{1,2} \\ &=50+15+10 \\ &=75 \end{align}\]

Concluindo, a quantidade de consumidores de \(P_1\) e \(P_2\), e não \(P_3\), é igual a \(\boxed{q_2=75}\).