determine a equacao do plano que passa pelos pontos (3,-1,2), (8,2,4) e (-1,2,-3)

Será a matriz 3x3 

3 -1 -2 

824

-12-3

\[\left| {\matrix{ {x - {x_0}} & {y - {y_0}} & {z - {z_0}} \cr r & s & t \cr m & n & p } } \right| = 0\]

Como o enunciado diz que os pontos \(A=\left( {3, - 1,2} \right)\), \(B=\left( {8,2,4} \right)\) e \(C=\left( { - 1,2, - 3} \right)\) pertencem ao plano, vamos fazer \(\vec u = \overrightarrow {AB}\) e \(\vec v = \overrightarrow {AC}\). Assim, temos que \(\vec u = \left( {5,3,2} \right)\) e \(\vec v = \left( { - 4,3, - 5} \right)\). Fazendo \(P = \left( {3, - 1,2} \right)\), temos:

\[\eqalign{ \left| {\matrix{ {x - 3} & {y + 1} & {z - 2} \cr 5 & 3 & 2 \cr { - 4} & 3 & { - 5} } } \right| = 0 \cr - 15\left( {x - 3} \right) + 15\left( {z - 2} \right) - 8\left( {y + 1} \right) + 12\left( {z - 2} \right) - 6\left( {x - 3} \right) + 25\left( {y + 1} \right) = 0 \cr - 15x + 45 + 15z - 30 - 8y - 8 + 12z - 24 - 6x + 18 + 25y + 25 = 0 \cr - 21x + 17y + 27z + 26 = 0 }\]

Portanto, a equação do plano é \(\boxed{ - 21x + 17y + 27z + 26 = 0}\).