Integral de raiz quadrada de (x^3-1). Como faz?

((X^3+1)/3+1)-1x+c

\[\int {udv} = u \cdot v - \int {vdu}\]

Assim, para a integral \(\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx}\), fazendo \(u = \sqrt {{x^3} - 1}\) e \(dv = dx\) teremos:

\[\left\{ \matrix{ du = {{3{x^2}} \over {2\sqrt {{x^3} - 1} }}dx \hfill \cr v = x \hfill } \right.\]

Logo, substituindo na expressão da integração por partes:

\[\eqalign{ \int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} &= x\sqrt {{x^3} - 1} - \int {{{3{x^3}} \over {2\sqrt {{x^3} - 1} }}dx}\cr&= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\int {{{{x^3} - 1 + 1} \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx}\cr&= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\left( {\int {{{{x^3} - 1} \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx} + \int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx} } \right)\cr&= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\left( {\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} + \int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx} } \right)\cr&= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} - {3 \over 2}\int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx} }\]

Assim, obtemos no segundo membro, uma integral idêntica à do enunciado. Passando essa integral para o primeiro membro, temos:

\[\eqalign{ \int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} + {3 \over 2}\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} &= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx}\cr{5 \over 2}\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} &= x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 2}\int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx}\cr\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} &= {2 \over 5}x\sqrt {{x^3} - 1} - {3 \over 5}\int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx}\text{ }......(1) }\]

Da Física Matemática, considerando que \(F\left[ {\left. x \right|{k^2}} \right]\) é uma integral elíptica do primeiro tipo com parâmetro \({k^2}\), temos:

\[F\left[ {\left. x \right|{k^2}} \right] = \int {{1 \over {\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}x} }}} dx\]

Essas integrais não possuem solução em termos de funções elementares. Por meio do Cálculo Complexo, é possível demonstrar que \(\int {{1 \over {\sqrt {{x^3} - 1} }}dx} = {{2i\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} } \over {\root 4 \of 3 \sqrt {{x^3} - 1} }}F\left[ {\left. {si{n^{ - 1}}\left( {{{\sqrt { - ix - {{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}} } \over {\root 4 \of 3 }}} \right)} \right|\root 3 \of { - 1} } \right]\).

Substituindo esse resultado em \(\left( 1 \right)\), temos:

\[\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} = {2 \over 5}x\sqrt {{x^3} - 1} - {{6i\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} } \over {5 \cdot \root 4 \of 3 \cdot \sqrt {{x^3} - 1} }}F\left[ {\left. {si{n^{ - 1}}\left( {{{\sqrt { - ix - {{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}} } \over {\root 4 \of 3 }}} \right)} \right|\root 3 \of { - 1} } \right]\]

Portanto, temos que \(\boxed{\int {\sqrt {{x^3} - 1} dx} = \dfrac{2}{5}x\sqrt {{x^3} - 1} - \dfrac{{6i\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} }}{{5 \cdot \root 4 \of 3 \cdot \sqrt {{x^3} - 1} }}F\left[ {\left. {si{n^{ - 1}}\left( {\dfrac{{\sqrt { - ix - {{\left( { - 1} \right)}^{5/6}}} }}{{\root 4 \of 3 }}} \right)} \right|\root 3 \of { - 1} } \right]}\).