Determine a derivada fy da função f(x,y)=e^x ln(xy): a) fy=ex.1/xy b) fy=1/xy c) fy=−ex.1/xy d) fy=ex e) fy=ex.1/2xy

\[{f_y} = {g_y}\left( {x,y} \right) \cdot h\left( {x,y} \right) + g\left( {x,y} \right) \cdot {h_y}\left( {x,y} \right)\]

Como \(f\left( {x,y} \right) = {e^x} \cdot \ln \left( {xy} \right)\), temos que \(g\left( {x,y} \right) = {e^x}\) e \(h\left( {x,y} \right) = \ln \left( {xy} \right)\). Das regras de derivação das funções elementares, temos:

\[\left\{ \matrix{ {g_y}\left( {x,y} \right) = 0 \cr {h_y}\left( {x,y} \right) = {x \over {xy}} \cr = {1 \over y} } \right.\]

Logo, substituindo as expressões encontradas na regra do produto, temos:

\[\eqalign{ {f_y} &= 0 \cdot \ln \left( {xy} \right) + {e^x} \cdot {1 \over y}\cr&= {{{e^x}} \over y} }\]

Portanto, nenhuma das alternativas apresenta o resultado correto que é \(\boxed{{f_y} = \dfrac{{{e^x}}}{y}}\).

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