Problema 3.40. Considere a rede de voleibol mostrada na figura. Determine o ângulo formado pelos cabos de sustentação AC e AD.

\[\eqalign{ AC &= \sqrt{2,4^2+1,8^2} \\ &=\sqrt{5,76+3,24} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \require{text}\text{ m} }\]

1. O cabo \(AD\)é a diagonal de um paralelepípedo de lados \(1,2\require{text}\text{ m}\)(eixo x), \(2,4\require{text}\text{ m}\)(eixo y) e \(0,3\require{text}\text{ m}\)(eixo z). Com isso, o comprimento do cabo \(AD\)é:

\[\eqalign{ AD &= \sqrt{1,2^2+2,4^2+0,3^2} \\ &= \sqrt{1,44+5,76+0,09} \\ &= \sqrt{7,29} \\ &= 2,7\require{text}\text{ m} }\]

1. A distância entre os pontos \(C\)e \(D\)é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a \(1,2\require{text}\text{ m}\)(eixo x) e \(1,8-0,3=1,5\require{text}\text{ m}\)(eixo z). Com isso, o comprimento \(CD\)é:

\[\eqalign{ CD &= \sqrt{1,2^2+1,5^2} \\ &= \sqrt{1,44+2,25} \\ &= \sqrt{3,69} \require{text}\text{ m} }\]

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo \(ACD\) tem-se a seguinte equação:

\[\eqalign{ a^2&=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha_{bc} \\ CD^2&=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos \alpha_{A} \\ }\]

Substituindo os valores, o ângulo entre os cabos \(AC\)e \(AD\)é:

\[\eqalign{ (\sqrt{3,69})^2&=3^2+2,7^2-2\cdot 3\cdot 2,7\cdot \cos \alpha_{A} \\ 3,69&=9+7,29-16,2\cdot \cos \alpha_{A} \\ 16,2\cdot \cos \alpha_{A}&=9+7,29-3,69 \\ \cos \alpha_{A}&={12,6 \over 16,2} \\ \alpha_{A}&=\arccos{12,6 \over 16,2} \\ &=38,94^{\circ} \\ }\]

Concluindo, o ângulo formado pelos cabos de sustentação \(AC\)e \(AD\)é igual a \(\boxed{\alpha_{A}=38,94^{\circ}}\)