descobrir o montante aplicado com juros compostos e simples (matemática financeira)

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1. Juros compostos: um capital \(C\) desconhecido foi aplicado a juros compostos de \(i=1,5\%\) ao mês durante \(n=3\text{ anos}=36\text{ meses}\). Com isso, o montante \(M_{comp}\) resultante é:


\[\begin{align} M_{sim} &= C\cdot(1+i)^n \\ &= C\cdot(1+{1,5 \over 100})^{36} \\ &= C\cdot(1,015)^{36} \\ &=1,71C \,\,\,\,(I) \end{align}\]


2. Juros simples: o mesmo capital \(C\) desconhecido foi aplicado a juros simples de \(i=1,5\%\) ao mês durante \(n=3\text{ anos}=36\text{ meses}\). Com isso, o montante \(M_{sim}\) resultante é:


\[\begin{align} M_{sim} &= C\cdot(1+in) \\ &= C\cdot(1+{1,5 \over 100}\cdot 36) \\ &= C\cdot(1+0,54) \\ &=1,54C \,\,\,\,(II) \end{align}\]


De acordo com o trecho “o primeiro recebeu R\$ 1.345,00 a mais de juros”, tem-se a seguinte equação:


\[M_{comp}-M_{sim}= 1.345 \,\,\,\,(III)\]


Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação \((III)\), o valor de \(C\) é:


\[\begin{align} 1,71C-1,54C&= 1.345 \\ 0,17C&= 1.345 \\ C&= {1.345\over 0,17} \\ &=\text{R}\$7.911,76 \end{align}\]


Concluindo, o valor do capital aplicado é igual a \(\boxed{\text{R}\$7.911,76}\).