Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.

Para que as raizes seja iguais, delta tem que ser igual a zero

x²- (p + 5)x + 36 = 0

a = 1
b = - (p + 5) = - p - 5
c = 36

∆ = 0
∆ = b² - 4ac
(- p - 5)² - 4.1.36 = 0
(- p)² - 2.5(- p) + 5² - 144 = 0
p² + 10p + 25 - 144 = 0
p² + 10p - 119 = 0

∆ = b² - 4ac
∆ = 10² - 4.1.(- 119)
∆ = 100 + 476
∆ = 576

x = -b±√∆ /2a
x = -10±√576 /2.1
x = -10±24 /2

x' = -10+24 /2
x' = 14/2
x' = 7

x" = -10-24 /2
x" = - 34/2
x= = - 17

R.: p' = 7 ou p" = - 17

\[\eqalign{ & a = 1 \cr & b = - p - 5 \cr & c = 36 }\]

Impondo que \(\Delta = 0\), vem que:

\[\eqalign{ & \Delta = 0 \cr & \sqrt {{b^2} - 4ac} = 0 \cr & {b^2} - 4ac = 0 \cr & {b^2} = 4ac \cr & {\left( { - p - 5} \right)^2} = 4 \cdot 1 \cdot 36 \cr & {p^2} + 10p + 25 = 144 \cr & {p^2} + 10p - 119 = 0 }\]

Com isso, obtemos uma nova equação de segundo grau em que:

\[\eqalign{ & a = 1 \cr & b = 10 \cr & c = - 119 }\]

Em tal equação:

\[\eqalign{ & p = \dfrac{{ - 10 \pm \sqrt {{{\left( {10} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 119} \right)} }}{{2 \cdot 1}} \cr & = \dfrac{{ - 10 \pm 24}}{2} }\]

Com isso, encontra-se que os valores de \(p\) que fazem com que a equação de segundo grau do enunciado possuam duas raízes iguais são: \(\boxed{p'=7}\) e \(\boxed{p''=-17}\).