Alguém poderia me explicar a solução? O meu resultado havia dado 33, porém o certo é 31...PLEASE!

Simples!

Pode ser resolvido de dois modos.

1º modo:

Seja  \({x_1}^2,{x_2}^2,{x_3}^2,{x_4}^2,{x_5}^2,{x_6}^2,{x_7}^2+...=0,1,4,9,16,25,36,...\)onde \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, ...\) são números naturais iniciado em zero.

Como a sequência se inicia em zero, então o 16º elemento da sequência é o número 15. Logo:

\({x_{16}}^2\rightarrow15^2=225\) 

\({x_{17}}^2\rightarrow16^2=256\)

Logo:

\(256-225=31\)

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2º modo:

Basta observar que a diferença entre o elemento da sequência com seu anterior é igual a soma das raizes quadradas desses elementos. Observe:

\({x_2}^2-{x_1}^2=x_2+x_1\rightarrow1-0=1+0=1 \\ {x_3}^2-{x_2}^2=x_3+x_2\rightarrow4-1=2+1=3\\ {x_4}^2-{x_3}^2=x_4+x_3\rightarrow9-4=3+2=5\\ {x_5}^2-{x_4}^2=x_5+x_4\rightarrow16-9=4+3=7\\ {x_6}^2-{x_5}^2=x_6+x_5\rightarrow25-16=5+4=9\\ {x_7}^2-{x_6}^2=x_7+x_6\rightarrow36-25=6+5=11 \)

E assim por diante.

Como queremos partir do 16º elemento da sequência, basta lembrar que a sequência se inicia em zero, então o 16º elemento é o número 15.

Logo:

\(x_{16}+x_{17}=15+16=31\)

Espero ter ajudado. Abraços!!

\[a_i - a_{i-1}= i^2 - (i-1)^2\]

Daí, a diferença entre o termo que ocupa a 17ª posição para o que ocupa a 16ª posição está calculada abaixo:

\[\eqalign{ & {a_{17}} - {a_{16}} = {17^2} - {16^2} \cr & = 289 - 256 \cr & = 33 }\]

Portanto, a diferença entre o termo que ocupa a 17ª posição para o que ocupa a 16ª posição é igual a \(\boxed{33}\) e, desse modo, a alternativa C) está correta.