determinar as coordenadas do vertice, as coordenadas do foco e a equação diretriz da parabola de equação y²+6y-8x-39=0

O vértice da parábola \(V=(x_v,y_v)\) é dado por \(y_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(x_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\). O discriminante é \(\Delta=\left(\dfrac34\right)^2-4\cdot\dfrac18\cdot\left(-\dfrac{39}8\right)=\dfrac9{16}+\dfrac{39}{16}=\dfrac{48}{16}=3\). Assim, temos \(y_v=-\dfrac{\dfrac34}{\dfrac14}=-3\) e \(x_v=-\dfrac3{\dfrac12}=-6\). Logo, \(\boxed{V=(-6,-3)}\).

Uma parábola é uma curva cuja distância entre qualquer um de seus pontos é a mesma entre um determinado ponto (chamado foco) e uma determinada reta (chamada diretriz). Para uma parábola com vértice \(V=(x_v,y_v)\), temos que seu foco é dado por \(F=(x_v,y_v+p)\) e sua reta diretriz é dada por \(y=x_v-p\).

Para encontrar o valor de \(p\), devemos reescrever a equação da parábola da forma \((y-y_v)^2=4p(x-x_v)\). Assim, temos que \((y+3)^2=4p(x+6)\Rightarrow y^2+6y+9=4p(x+6)\Rightarrow x=\dfrac{y^2+3y+9}{4p}-6\)

Comparando a equação \(x=\dfrac{y^2+6y+9-24p}{4p}\) com \(x=\dfrac {y^2}8+\dfrac 34y-\dfrac{39}8\), concluímos que \(p=2\).

Assim, temos \(\boxed{F=(-6,-1)}\) e \(\boxed{r:y=-8}\).