Encontre as raízes, as coordenadas do vértice e esboce o gráfico da função do segundo grau:F(x) = 4x²-3x-1

A equação está no formato \(ax^2+bx+c=0\), cujos coeficientes são:

\[\left\{\begin{matrix}\begin{align} a&=4 \\ b&=-3 \\ c&=-1 \end{align} \end{matrix} \right.\]
Portanto, pelo método de Bhaskara, os valores de \(x\) são:

\[\begin{align} x&={-b\pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\

&={-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 4\cdot (-1)} \over 2\cdot 4} \\

&={3\pm \sqrt{9+16} \over 8} \\

&={3\pm \sqrt{25} \over 8} \\

&={3\pm 5 \over 8} \to

\left \{ \begin{matrix} x_1=1 \\ x_2=-0,25 \end{matrix} \right.

\end{align}\]
Portanto, as raízes da função \(F(x)=4x^2-3x-1\) são:

\[\boxed{\left\{\begin{matrix}\begin{align} x_1&=1 \\ x_2&=-0,25 \end{align} \end{matrix} \right.}\]

O valor de \(x_v\) deve atender a seguinte equação:

\[{\partial F(x) \over \partial x}=0\]
Portanto, o valor de \(x_v\) é:

\[\begin{align} {\partial \over \partial x}(4x_v^2-3x_v-1) &=0 \\

8x_v-3\cdot 1&=0 \\

8x_v &= 3 \\ x_v &= {3 \over 8} \\ &= 0,375

\end{align}\]
Portanto, o valor de \(y_v\) é:

\[\begin{align} y_v &= F(x_v) \\

&= 4x_v^2-3x_v-1 \\

&= 4\cdot\bigg({3 \over8}\bigg)^2-3\cdot {3\over 8}-1 \\

&= 4\cdot{9 \over64}-{9\over 8}-1 \\ &=-{25\over 16} \\ &= -1,5625‬

\end{align}\]
Portanto, o vértice da função \(F(x)=4x^2-3x-1\) é \(\boxed{(x_v,y_v)=\big( 0,375;-1,5625 \bigg)}\).

1. Gráfico da função: o esboço do gráfico de \(F(x)=4x^2-3x-1\) está apresentado a seguir:

1565749474978