Dados os pontos A( 2,1,1) B( 3,-1,0) e C( 4,2,-2), determine:a) A área do triângulo de vértices A, B e C.b) Os ângulos 1, 2, 3c) Os lados do triângulo

Para calcular a área do triângulo ABC, deve-se conhecer os vetores de dois de três lados do mesmo.

O vetor correspondente ao lado AB é:

\[\begin{align} AB&=B-A \\ &=(3;-1;0)-(2;1;1) \\ &=(3-2;-1-1;0-1) \\ &=(1;-2;-1) \,\,\,\, (I) \end{align}\]

E o vetor correspondente ao lado AC é:

\[\begin{align} AC&=C-A \\ &=(4;2;-2)-(2;1;1) \\ &=(4-2;2-1;-2-1) \\ &=(2;1;-3) \,\,\,\,(II) \end{align}\]

Pelas equações \((I)\) e \((II)\), o produto vetorial \(AB\times AC\) é:

\[\begin{align} AB\times AC &= \det\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} \\ &= i\cdot(-2\cdot (-3)-(-1)\cdot 1 ) + j\cdot(-1\cdot 2-1\cdot(-3) ) + k (1\cdot 1-(-2)\cdot 2 ) \\ &= i\cdot(6+1 ) + j\cdot(-2+3 ) + k (1+4 ) \\ &= 7i + j + 5k \\ \end{align}\]

E o módulo do produto vetorial \(AB\times AC\) é:

\[\begin{align} |AB\times AC| &= |7i + j + 5k| \\ &=\sqrt{7^2+1^2+5^2} \\ &=\sqrt{49+1+25} \\ &=\sqrt{75} \\ &=\sqrt{5^2\cdot 3} \\ &=5\sqrt{3} \end{align}\]

Portanto, a área do triângulo ABC é:

\[\begin{align} A_{ABC} &={|AB\times AC| \over 2} \\ &={5\sqrt{3}\over 2} \end{align}\]

Concluindo, a área do triângulo de vértices ABC é igual a \(\boxed{A_{ABC} ={5\sqrt{3}\over 2}}\).

b)

O vetor correspondente ao lado BC é:

\[\begin{align} BC&=C-B \\ &=(4;2;-2)-(3;-1;0) \\ &=(4-3;2-(-1);-2-0) \\ &=(1;3;-2) \,\,\,\,(III) \end{align}\]

Pelas equações de \((I)\) a \((III)\), o módulo dos vetores AB, AC e BC são:

\[\left\{ \begin{matrix} |AB|=|(1;-2;-1)|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2} \\ |AC|=|(2;1;-3)|=\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2} \\ |BC|=|(1;3;-2)|=\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2} \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} |AB|=\sqrt{6} \,\,\,\,(IV)\\ |AC|=\sqrt{14}\,\,\,\,(V) \\ |BC|=\sqrt{14}\,\,\,\, (VI) \end{matrix} \right.\]

\[\begin{align} \cos\theta_1 &= {AB\cdot AC \over |AB|\cdot |AC|} \\ &= {(1;-2;-1)\cdot (2;1;-3) \over \sqrt{6}\cdot \sqrt{14}} \\ &= {1\cdot 2-2\cdot 1-1\cdot(-3) \over \sqrt{84}} \\ &= {3 \over\sqrt{84}} \\ \theta_1&= 70,89^{\circ} \,\,\,\, (VII) \end{align}\]

\[\begin{align} \cos\theta_2 &= {AB\cdot BC \over |AB|\cdot |BC|} \\ &= {(1;-2;-1)\cdot (1;3;-2) \over \sqrt{6}\cdot \sqrt{14}} \\ &= {1\cdot 1-2\cdot 3-1\cdot(-2) \over \sqrt{84}} \\ &= {-3 \over \sqrt{84}} \\ \theta_2&= 70,89^{\circ} \,\,\,\,(VIII) \end{align}\]

\[\begin{align} \cos\theta_3 &= {AC\cdot BC \over |AC|\cdot |BC|} \\ &= {(2;1;-3)\cdot (1;3;-2) \over \sqrt{14}\cdot \sqrt{14}} \\ &= {2\cdot 1+1\cdot 3-3\cdot(-2) \over 14} \\ &= {11 \over 14} \\ \theta_3&= 38,21^{\circ} \,\,\,\, (IX) \end{align}\]

Concluindo, pelas equações de \((VII)\) a \((IX)\), os ângulos do triângulo ABC são:

\[\boxed{ \left\{ \begin{matrix} \theta_1= 70,89^{\circ} \\ \theta_2= 70,89^{\circ} \\ \theta_3= 38,21^{\circ}\end{matrix} \right. }\]

c)

Pelas equações de \((IV)\) a \((VI)\), as medidas dos lados do triângulo ABC são:

\[\boxed{ \left\{ \begin{matrix} |AB|=\sqrt{6} \\ |AC|=\sqrt{14} \\ |BC|=\sqrt{14} \end{matrix} \right. }\]