Resolva a equação do segundo grau 2x²+x-3=0

Dada a equação \(2x^2+x-3=0\). Existem, pelo menos duas maneiras de resolver qualquer equação do 2º grau: (i) a maneira tradicional com o uso de Bháskara e (ii) com o uso da soma e produto das raízes, isto é, \(x_1+x_2=-b^{(*)}\) e \(x_1\cdot x_2=c\).

(*)Na expressão \(x_1+x_2=-b\), a soma das raízes sempre terão sinal contrário ao coeficiente \(b\) da equação. Detalhe: como o coeficiente \(a\neq1\), para este método dar certo devemos torná-la \(a=1\). Para tanto, basta dividir a equação toda pelo número que acompanha \(x^2\), neste caso, o número 2.

Solução:

Usando o método (ii):

\(x^2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}=0\)

Lembrando que encontrar a raiz de uma equação é o mesmo que encontrar o número que zera a equação. Então, analisando a equação, percebemos logo de inicio que uma das raízes é o número 1, pois \(2\cdot(1)+1-3=0\). Uma vez descoberto uma das raízes, substituiremos em \(x_1+x_2=-b\) ou em \(x_1\cdot x_2=c\).

Neste caso, como a raiz é o número 1, é mais viável usar a expressão \(x_1\cdot x_2=c\).

\(x_1\cdot x_2=c\rightarrow 1\cdot x_2=-\dfrac{3}{2}\rightarrow x_2=-\dfrac{3}{2}\)

De fato, pois

\(2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{2}\right)-3=0\\ 2\cdot\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}-3=0\\ \dfrac{18}{4}-\dfrac{3}{2}-3=0\\ \dfrac{18}{4}-\dfrac{6}{4}-\dfrac{12}{4}=0\\ 18-6-12=0\\ 18-18=0\\ 0=0\)

Portanto, \(S=\left\{-\dfrac{3}{2},1\right\}\)

Para resolver esta equação, iremos utilizar o teorema de Bháskara, sabendo que o valor de a é igual a 2, b vale 1 e c vale -3:

\[\eqalign{ & x = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4 \cdot 2 \cdot ( - 3)} }}{{2 \cdot 2}} \cr & x = \dfrac{{ - 1 \pm 5}}{4} \cr & {x_1} = 1 \cr & {x_2} = - \dfrac{3}{2} }\]

Portanto, os valores de x que satisfazem a igualdade são \(\boxed{{x_1} = 1}\) e \(\boxed{{x_2} = - \dfrac{3}{2}}\).