Dadas os pontos abaixo, pertencentes ás retas r e s, obtenha: a) Os coeficientes ângulares das retas;b) A equação reduzida das retas;C) O menos ângulo

\(y(x) = a*x + b\), onde:

• \(y(x)\) é a imagem da função em dado \(x\);
• \(a\) é o coeficiente angular; e
• \(b\) é o coeficiente linear, correspondendo ao ponto no qual a função corta o eixo \(y\).

a)

Para a reta \(r\):

• Pelo ponto (1,5), temos que:


\[y(x) = a*x + b\]



\[y(1) = a * 1 + b\]



\[5 = a + b\]



\[a = 5 - b\]


• Pelo ponto (2,7), temos que:


\[y(x) = a*x + b\]



\[y(2) = a*2 + b\]



\[7 = 2a + b\]


Substituindo a igualdade que encontramos no ponto anterior:


\[7 = 2 * (5 - b) + b\]



\[7 = 10 - 2b + b\]



\[b = 10 - 7\]



\[b = 3\]


Então


\[a = 5 - b\]



\[a = 5 - 3\]



\[a = 2\]


Portanto, o coeficiente angular da reta \(r\) é \(\boxed{a = 2}\).

No caso da reta \(s\), teremos:

• Pelo ponto (1,-2), temos que:


\[y(x) = a*x + b\]



\[y(1) = a * 1 + b\]



\[-2 = a + b\]



\[a = -2 - b\]


• Pelo ponto (2,1), temos que:


\[y(x) = a*x + b\]



\[y(2) = a*2 + b\]



\[1 = 2a + b\]


Substituindo a igualdade que encontramos no ponto anterior:


\[1 = 2 * (-2 - b) + b\]



\[1 = -4 - 2b + b\]



\[b = -4 - 1\]



\[b = -5\]


Então


\[a = -2 - b\]



\[a = -2 - (-5)\]



\[a = 3\]


Portanto, o coeficiente angular da reta \(r\) é \(\boxed{a =3 }\).

b)

A equação reduzida \(r\) será:


\[y(x) = a*x + b\]


\(\boxed{r: y(x) = 2x + 3}\).

No caso da reta \(s\), teremos a seguinte equação reduzida:


\[y(x) = a*x + b\]


\(\boxed{s: y(x) 3x - 5}\).

c)

O ângulo \(\alpha\) entre duas retas é dado implicitamente por

\(\tan \alpha = \| \dfrac{a_s - a_r}{1 + a_s * a_r}\| \Rightarrow \alpha = \arctan \| \dfrac{a_s - a_r}{1 + a_s * a_r}\|\), onde:

• \(a_s\) e \(a_r\) são os coeficientes angulares das retas \(s\) e \(r\), respectivamente; e
• \(\|\) representa o módulo.

Assim, temos:


\[\alpha = \arctan \| \dfrac{3 - 2}{1 + 3 * 2}\|\]


\(\alpha = \arctan \| \dfrac{1}{7}\| \approx 8,13^{\circ}\).

Portanto, o menor ângulo entre as duas retas é aproximadamente \(\boxed{8,13^{\circ}}\).