Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito

1. O total de circunferências é 130.

A quantidade de elementos da Progressão Aritmética (PA) é igual a \(n=150-20+1=131\). Portanto, a primeira sentença é _falsa_.

1. O comprimento da maior dessas circunferências é 15 vezes o comprimento da menor.

O resultado da divisão dos extremos da PA é \(150/20=7,5\). Portanto, a segunda sentença é _falsa_.

1. As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão 2.

Como o diâmetro é o dobro do raio, tem-se a sequência \(40,42,44,46,…,300\), que de fato é uma PA de razão \(2\). Portanto, a terceira sentença é _verdadeira_.

1. A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2227pi.

A soma \(S_r\) dos elementos do conjunto de raios, em milímetros, é:

\[\eqalign{ S_r &= (a_1+a_n)\cdot {n\over 2} \\ &= (20+150)\cdot {131\over 2} \\ &=11.135 }\]

Em centímetros, o valor de \(S\) é:

\[\eqalign{ S_{r,cm}&={11.135 \over 10} \\ &= 1.135\text{ cm} }\]

Sabendo que o comprimento de uma circunferência é o produto entre seu raio e um fator \(2\pi\), a soma \(S_{circ}\) dos comprimentos das circunferência, em centímetros, é:

\[\eqalign{ S_{circ} &=2\pi\cdot S_{r,cm} \\ &=2\pi\cdot 1.135 \\ &=2.227\pi \text{ cm} }\]

Portanto, a quarta sentença é verdadeira.

Concluindo, as sentenças corretas são a terceira e a quarta: As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão 2 e A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2227pi.