44- Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas , 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas

Tirar 5 bolas simultaneamente equivale a dizer que tiramos 5 bolas (uma de cada vez) sem reposição. Portanto, vamos por parte com as bolas retiradas:

Pretas: (5/13).(4/12) = 5/39 ---> se retiramos 2 bolas (das 13), sobraram 11.

Azuis: (3/11).(2/10) = 3/55 ---> retiramos mais duas bolas, restam 9 (no total).

Amarela: 2/9

Como tudo isso acontece simultaneamente, multiplicamos esses três valores:

P = (5/39).(3/55).(2/9) = 2/1287

Note que ao retirar as 5 bolas (PP AZAZ AM), elas se permutam entre si de 5! =120. Nesse caso devemos descontar as repetições, assim:
5!/2!2!1! = 30. Portanto:

P = 30*(2/1287)
P = 10*(2/429)
P = 20/429

\[{C_{n,k}} = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\]

Calculando a combinação para a retirada de 5 bolas dentre as 13, temos:

\[\eqalign{ {C_{n,k}} &= \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\cr{C_{13,5}} &= \dfrac{{13!}}{{5! \cdot 8!}}\cr{C_{13,5}} &= \dfrac{{6.227.020.800}}{{120 \cdot 40.320}}\cr{C_{13,5}} &= \dfrac{{6.227.020.800}}{{4.838.400}}\cr{C_{13,5}} &= 1.287 }\]

Para as bolas pretas:

Sabendo que temos 5 bolas pretas e queremos duas, então teremos:

\[\eqalign{ {C_{n,k}} &= \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\cr{C_{5,2}} &= \dfrac{{5!}}{{2!\left( {5 - 2} \right)!}}\cr{C_{5,2}} &= \dfrac{{120}}{{2 \cdot 3!}}\cr{C_{5,2}} &= \dfrac{{120}}{{2 \cdot 6}}\cr{C_{5,2}} &= \dfrac{{120}}{{12}}\cr{C_{5,2}} &= 10 }\]

Para as bolas azuis:

Sabemos que temos 3 e queremos duas, então:

\[\eqalign{ {C_{n,k}} &= \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\cr{C_{3,2}} &= \dfrac{{3!}}{{2!\left( {3 - 2} \right)!}}\cr{C_{3,2}} &= \dfrac{6}{{2 \cdot 1!}}\cr{C_{3,2}} &= \dfrac{6}{{2 \cdot 1}}\cr{C_{3,2}} &= \dfrac{6}{2}\cr{C_{3,2}} &= 3 }\]

Para as bolas amarelas:

Temos 2 e queremos 1:

\[\eqalign{ {C_{n,k}} &= \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\cr{C_{2,1}} &= \dfrac{{2!}}{{1!\left( {2 - 1} \right)!}}\cr{C_{2,1}} &= \dfrac{2}{{1 \cdot 1!}}\cr{C_{2,1}} &= \dfrac{2}{1}\cr{C_{2,1}} &= 2 }\]

Como queremos que todas essas combinações aconteçam simultaneamente, então vamos multiplicar todas:

\[\eqalign{ {C_{5,2}} \cdot {C_{3,2}} \cdot {C_{2,1}} &= 10 \cdot 3 \cdot 2\cr{C_{5,2}} \cdot {C_{3,2}} \cdot {C_{2,1}} &= 60 }\]

Para evitar repetições das combinações, vamos dividir o resultado das combinações das cores pela combinação para a retirada das 5 bolas:

\[\eqalign{ {\text{Probabilidade &= }}\dfrac{{{C_{5,2}} \cdot {C_{3,2}} \cdot {C_{2,1}}}}{{{C_{13,5}}}}\cr{\text{Probabilidade &= }}\dfrac{{60}}{{1.287}}\cr{\text{Probabilidade &= }}\dfrac{{20}}{{429}} }\]

Concluímos então que \(\boxed{{\text{Probabilidade = }}\dfrac{{20}}{{429}}}\).